最小化覆盖给定间隔集的框的数量

Question

这是算法大师的问题： - ）

让S成为可能重叠的自然数的一组区间，以及b一个框大小。假设对于每个区间，范围严格小于b。

我想找到b大小的最小间隔集（让我们称之为M），因此S中的所有时间间隔都包含在M的时间间隔内

琐碎的例子：

S = {[1..4], [2..7], [3..5], [8..15], [9..13]}
b = 10
M = {[1..10], [8..18]}
// so ([1..4], [2..7], [3..5]) are inside [1..10] and ([8..15], [9..13]) are inside [8..18]

我认为贪婪的算法可能不会一直有效，所以如果有人知道这个问题的解决方案（或类似的可以转换成的问题），那就太好了。

谢谢！

更新我一直在思考它，也许我的第一个直觉是错误的，贪婪的算法只是解决这个问题的方法，因为最后所有的间隔需要被覆盖，如何选择超级间隔也没有任何区别......我应该删除这个问题，还是有人可以断言？

Answer 1

算法可能如下。

1. a = 0
2. curr = S中的最低数字>＆gt;一个。 （在我们的案例中= 1. [1..4]）
3. 向M添加间隔[curr..b]（在我们的例子中，M = {[1..10]}）
4. a = M的最大上限（在我们的例子中a = 10）
5. 转到2.

Answer 2

是的，贪心算法是最佳的。非正式地，考虑任意解M。我们将它转​​换为贪婪解M'的超集，而不增加间隔的数量。反复考虑M-M'中最左边的间隔I.设s是S中最左边的区间，其中I是M中最左边的区间，包含s。从左到右的贪婪算法选择一个间隔I'，其左边缘与s对齐。我首先声称我是在我的右边，因为我是包含s的最右边的间隔，其次，M - {I} U {I'}是一个有效的解决方案，因为我所包含的唯一间隔但不是我'在s的左边，因此已经被其他一些区间所包含。不在贪婪解决方案中的间隔数量减少，因此我们最终达到了贪婪的解决方案。