Question

有人可以解释一下以下输出。我知道它与浮点精度有关，但是magnitue（差异1e308）的顺序让我感到惊讶。

0：高精度

> 1e-324==0
[1] TRUE
> 1e-323==0
[1] FALSE

1：非常不高兴

> 1 - 1e-16 == 1
[1] FALSE
> 1 - 1e-17 == 1
[1] TRUE

Answer 1

R使用IEEE 754双精度浮点数。

浮点数在零附近更密集。这是因为它们被设计为在很宽的范围内准确计算（相当于大约16个有效小数位，正如您所注意到的）。

也许你期望一个具有统一绝对精度的定点系统。在实践中，定点要么是浪费，要么必须事先仔细估算每个中间计算的范围，如果它们是错误的，会产生严重的后果。

正浮点数如下所示：

+-+-+-+--+--+--+----+----+----+--------+--------+--------+--
0

最小正常双精度数是最小指数幂的2。接近一，双精度浮点数已经相当广泛地分布。 2 ^-53的距离从1到1以下，距离2 ^-52从1到它之上的数字。

Answer 2

根据@ PascalCuoq的回答，因为符合IEEE 754标准的平台（例如x86）上的R double的FP精度不是十六位十进制数字：

# Machine ULP in decimal digits...
.Machine$double.ulp.digits * log10(2)
-15.65...

# Note the direct relationship between ULP digits and EPS:
.Machine$double.ulp.digits = -52 
2.22 e-16 = .Machine$double.eps == 2^.Machine$double.ulp.digits

因此1 - 1e-16已经非常接近ULP，1 - 1e-17超出了ULP，并且四舍五入到FP 1.0

请参阅.Machine : "Numerical Characteristics of the Machine"的R文档。特别要注意EPS和ULP之间的区别。

（ULP由FP编号1定义。您的FP编号越大，最后一位的值越大，舍入操作越粗糙）

关于数量1e-323来自何处：你将ULP与最小可表示的FP值混淆，后者远小于此。

最小可表示的标准化正值FP值具有指数e-308，根据IEEE 754 Double-precision examples ...

# Minimum-representable normalized positive FP value is...
.Machine$double.xmin
2.225..e-308

# ...which would correspond to this base-2 exponent...
log10(.Machine$double.xmin) / log10(2)
-1022
# ...or this base-10 exponent...
.Machine$double.min.exp * log10(2)
-307.65...

但是如果我们使用非标准化的FP数，即所有前导尾数位都为0，我们可以稍微小一些。因此，根据经验发现，最小可表示的非标准化正FP值介于1e-324之间和1e-323 。那是因为我们有52个尾数位，因此LSB的数值是2 ^ 51或10 ^ 15.35更小：

# Exponent of Minimum-representable UNnormalized positive FP value 
log10(.Machine$double.xmin) - (.Machine$double.digits * log10(2))
-323.607...

（为什么我们不能凭经验发现它？因为IEEE-754在四舍五入之前内部带有一些保护数字）

（另请注意表示表示为base-2的参数：.Machine$double.base = 2）

R中浮点精度的极值数值

2 个答案: