傅里叶变换只处理周期信号吗？

Question

非周期信号可以由DFT处理。 DFT可以处理周期性和非周期性信号吗？

Answer 1

是的，你可以。一个很好的解释是made here 直接引用如下。 （http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e12/Lectures/FourierXform/FourierXFormI.html）

  

似乎周期函数不具有傅立叶变换   因为它违反了第一个收敛标准。然而，   如果我们允许脉冲函数，我们可以绕过这个限制   （这将允许我们使用傅立叶变换进行周期性和   非周期函数）。

     

考虑一个简单的脉冲频域函数   缩放2p（缩放因子稍后会很方便）。

  

我们可以通过计算得到相应的时域函数   逆傅里叶变换，

  

（最后一步是使用脉冲的筛选属性进行的   函数。）注意，时域函数x（t）是周期性的。所以   如果我们允许傅立叶域中的脉冲，我们可以定期   时域中的功能。这是一个特例，但我们可以   代表任何（取决于收敛标准，如   傅立叶级数）具有傅里叶变换的周期函数。第一   考虑傅立叶变换，这是一个无限的脉冲和（这个   是设计的，但它简化为有用的东西）。

  

（这个派生也使用了筛选属性。）所以，找到了   周期信号的傅里叶变换，x（t），首先找到傅立叶   系列系数，cn，那么

Answer 2

离散傅里叶变换（DFT）定义了N点时域序列x [n]，n = 0..N-1和N点频域序列（傅里叶变换的样本）之间的关系在\ omega = 0和2 \ pi之间均匀间隔X [k]，k = 0..N-1。正向转型由下式给出：

X[k] = 1/N \sum_{n=0}^{N-1} x[n] exp{-j 2\pi k.n/N}

可以表示为矩阵乘法

X = D x

其中x和X是对应于时域和频域的N元素列向量，D是N-by-N DFT矩阵，

D_{kn} = 1/N exp{-j 2\pi k.n/N}

（因此逆变换通常来自D的矩阵逆）。

因此，您可以计算任何N点输入序列x [n]的X [k]，并且甚至没有多大意义来定义有限长度序列的周期性。如果x [n]可以被分成几个完全重复的部分（例如，重复的N / 2点序列），那么我们将在X [k]中看到相应的结构（所有奇数谱样本将为零）例子）。

现在，您可以将DFT解释为无限期，周期序列的傅立叶变换，该序列由您开始的无限多次重复的N点时域序列组成。在这种情况下，DFT值X [k]对应于构成该无限能量（但是有限幂）序列的谱的狄拉克斯三角洲的权重。

但您也可以将其解释为对有限长度序列的傅立叶变换进行采样，等效于无限持续时间序列，恰好在有限的N点范围内非零。在这种情况下，X [k]值是完整的连续频率傅立叶变换的有限值样本。