双曲面中细胞的表示

Question

我想表示以下细胞排列（称为order-5 square tiling;来自维基百科的图像; 图像下方的更多文字）：

显然，对于一个简单的网格，我可以在整数坐标中通过相对于原点的(x,y)位置唯一地引用给定的方格。要到达相邻的单元格，可以简单地增加或减少x或y。然而，在双曲线平面上，事情变得混乱，并且不清楚如何引用给定的单元格。

是否有更好的视觉表示方式 - 5平方的平铺，可以直观地了解如何引用单个细胞，如果没有，那么是否有一种简单的方法可以为每个细胞提供一个指数（例如欧几里德平面的(x,y)）可以很容易找到它的邻居吗？

Answer 1

这个问题与Math SE上的问题密切相关，题为Symbolic coordinates for a hyperbolic grid?使my answer there适应正方形（即常规四边形）双曲线平铺的特殊情况，我建议如下：区分一个正方形（可能是最大的）作为中心，一个方向作为起始方向。然后你可以将一条通过平铺的路径描述为一系列移动指令：向左转，向右转，直线移动，在开始时甚至可以转向。您可以将这些缩写为单个字母l,r,s,t。所以路径是这样的字母序列，并且表示唯一的最终正方形。另一方面，有几条通向给定方格的路径，因此这条路径语法并不是唯一的。您需要添加一个标准化步骤：从所有可能的路径中，根据这些单词的某些总顺序选择最小的一个，例如：短期订单。您可以使用适当的术语重写系统自动执行此规范化，使用Knuth-Bendix程序完成。我无法想象一个视觉表现形式，这对任何一个都有很大影响。