抛物线和准线上的对应点

Question

假设我们有抛物线方程(y = x^2)。见下图：

假设我们在此抛物线上有一个点P，其中P=(-2,4)。我们知道抛物线上的任何点（例如P）与焦点之间的距离等于距离 在点P和准线之间。 我的问题是，抛物线的准线上的P'的对应点（例如P）是什么distance between the focus and P = distance between P and P'？什么是在抛物线上取一个点并返回准线上相应点的等式

Answer 1

由于焦点和准线与抛物线上的任何点的距离相等，因此它们与原点（0,0）的距离相等。您可以假设距离为d，因此焦点位于（0，d），并且准线将是y = -d线。

对于抛物线上的任何其他点，到线的平方距离为
（y + d） ² = （x ² + d） ² = x ⁴ + 2dx ² + d ²
到焦点的平方距离是
x ² +（yd） ² = x ² +（x ² -d） ^{2 < / sup> = x 2 + x 4 - 2dx 2 + d 2}

这两个表达式应该相等，所以它们的差别应该为零：
（x ⁴ + 2dx ² + d ² ） - （x ² + x ⁴ - 2dx ² + d ² ）= （4D-1）X ²
从这里你可以读到d = 1/4。所以你的准线是y = -1 / 4而你的焦点是（0,1 / 4）。

准线上与抛物线上的点相对应的点就是它的正交投影。所以如果在抛物线上有P =（x，y）=（x，x ² ），则得到P'=（x，-d）= P（x，-1 / 4） ）。