我一直在尝试集成一个函数并获得一个足够简单的输出可用。简单地使用Simplify和FullSimplify命令还远远不够，我需要花费2个多小时才能从此集成中获得结果。我是否可以使用其他技巧来强制进一步简化？我可以提出任何假设，使其更简单或更快？
请注意，示例输出非常长，以至于无法读取，更不用说手动简化了。
编辑：更新了输入和输出以反映评论员的帮助。仍然无处可用。
输入（ai，bi，ci和di是单位向量，因此稍后将用适当的余弦替换.ki有一个值但仍然保持跟踪，因此可以在以后使用适当的余弦。余弦是独立于集成，因此以这种方式缩短它：）
r = {r1, r2, r3};
a = {a1, a2, a3}/\[Sigma]a;
b = {b1, b2, b3}/\[Sigma]b;
c = {c1, c2, c3}/\[Sigma]c;
d = {d1, d2, d3}/\[Sigma]d;
k = {k1, k2, k3};
S = {{S11, S12, S13}, {S21, S22, S23}, {S31, S32, S33}};
FullSimplify[Integrate[(1/(2*Pi*\[Sigma]a*\[Sigma]b))*Exp[-(1/2)*((a.r)^2 + (b.r)^2)]*(1/(2*Pi*\[Sigma]c*\[Sigma]d))*Exp[-(1/2)*((c.r)^2 + (d.r)^2)], {r1, -Infinity, Infinity}, {r2, -Infinity, Infinity}, {r3, -Infinity, Infinity}, Assumptions -> Element[{r1, r2, r3, a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, k1, k2, k3, S11, S12, S13, S21, S22, S23, S31, S32, S33, \[Sigma]a, \[Sigma]b, \[Sigma]c, \[Sigma]d, \[Tau]}, Reals] && \[Sigma]a > 0 && \[Sigma]b > 0 && \[Sigma]c > 0 && \[Sigma]d > 0 && \[Tau] >= 0 && 1 >= a1 >= -1 && 1 >= a2 >= -1 && 1 >= a3 >= -1 && 1 >= b1 >= -1 && 1 >= b2 >= -1 && 1 >= b3 >= -1 && 1 >= c1 >= -1 && 1 >= c2 >= -1 && 1 >= c3 >= -1 && 1 >= d1 >= -1 && 1 >= d2 >= -1 && 1 >= d3 >= -1]]]]
输出：
ConditionalExpression[
1/(Sqrt[2 \[Pi]] \[Sqrt]((b3^2 c2^2 d1^2 \[Sigma]a^2 -
2 b2 b3 c2 c3 d1^2 \[Sigma]a^2 +
b2^2 c3^2 d1^2 \[Sigma]a^2 -
2 b3^2 c1 c2 d1 d2 \[Sigma]a^2 +
2 b2 b3 c1 c3 d1 d2 \[Sigma]a^2 +
2 b1 b3 c2 c3 d1 d2 \[Sigma]a^2 -
2 b1 b2 c3^2 d1 d2 \[Sigma]a^2 +
b3^2 c1^2 d2^2 \[Sigma]a^2 - 2 b1 b3 c1 c3 d2^2 \[Sigma]a^2 +
b1^2 c3^2 d2^2 \[Sigma]a^2 +
2 b2 b3 c1 c2 d1 d3 \[Sigma]a^2 -
2 b1 b3 c2^2 d1 d3 \[Sigma]a^2 -
2 b2^2 c1 c3 d1 d3 \[Sigma]a^2 +
2 b1 b2 c2 c3 d1 d3 \[Sigma]a^2 -
2 b2 b3 c1^2 d2 d3 \[Sigma]a^2 +
2 b1 b3 c1 c2 d2 d3 \[Sigma]a^2 +
2 b1 b2 c1 c3 d2 d3 \[Sigma]a^2 -
2 b1^2 c2 c3 d2 d3 \[Sigma]a^2 +
b2^2 c1^2 d3^2 \[Sigma]a^2 - 2 b1 b2 c1 c2 d3^2 \[Sigma]a^2 +
b1^2 c2^2 d3^2 \[Sigma]a^2 + a3^2 c2^2 d1^2 \[Sigma]b^2 -
2 a2 a3 c2 c3 d1^2 \[Sigma]b^2 +
a2^2 c3^2 d1^2 \[Sigma]b^2 -
2 a3^2 c1 c2 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a2 c3^2 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
a3^2 c1^2 d2^2 \[Sigma]b^2 - 2 a1 a3 c1 c3 d2^2 \[Sigma]b^2 +
a1^2 c3^2 d2^2 \[Sigma]b^2 +
2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a3 c2^2 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a2^2 c1 c3 d1 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a2 a3 c1^2 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a1^2 c2 c3 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
a2^2 c1^2 d3^2 \[Sigma]b^2 - 2 a1 a2 c1 c2 d3^2 \[Sigma]b^2 +
a1^2 c2^2 d3^2 \[Sigma]b^2 + a3^2 b2^2 d1^2 \[Sigma]c^2 -
2 a2 a3 b2 b3 d1^2 \[Sigma]c^2 +
a2^2 b3^2 d1^2 \[Sigma]c^2 -
2 a3^2 b1 b2 d1 d2 \[Sigma]c^2 +
2 a2 a3 b1 b3 d1 d2 \[Sigma]c^2 +
2 a1 a3 b2 b3 d1 d2 \[Sigma]c^2 -
2 a1 a2 b3^2 d1 d2 \[Sigma]c^2 +
a3^2 b1^2 d2^2 \[Sigma]c^2 - 2 a1 a3 b1 b3 d2^2 \[Sigma]c^2 +
a1^2 b3^2 d2^2 \[Sigma]c^2 +
2 a2 a3 b1 b2 d1 d3 \[Sigma]c^2 -
2 a1 a3 b2^2 d1 d3 \[Sigma]c^2 -
2 a2^2 b1 b3 d1 d3 \[Sigma]c^2 +
2 a1 a2 b2 b3 d1 d3 \[Sigma]c^2 -
2 a2 a3 b1^2 d2 d3 \[Sigma]c^2 +
2 a1 a3 b1 b2 d2 d3 \[Sigma]c^2 +
2 a1 a2 b1 b3 d2 d3 \[Sigma]c^2 -
2 a1^2 b2 b3 d2 d3 \[Sigma]c^2 +
a2^2 b1^2 d3^2 \[Sigma]c^2 - 2 a1 a2 b1 b2 d3^2 \[Sigma]c^2 +
a1^2 b2^2 d3^2 \[Sigma]c^2 + (a3 b2 c1 - a2 b3 c1 -
a3 b1 c2 + a1 b3 c2 + a2 b1 c3 -
a1 b2 c3)^2 \[Sigma]d^2)/(c3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 \
\[Sigma]b^2 + (b2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b2 b3 \[Sigma]a^2 +
a2 a3 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) +
c2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) + \[Sigma]c^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 \[Sigma]b^2 +
b3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 + a2 a3 \[Sigma]d^2) +
b2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 + a3^2 \[Sigma]d^2)))) Sqrt[
c3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b2^2 \[Sigma]a^2 +
a2^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b2 b3 \[Sigma]a^2 +
a2 a3 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) +
c2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) + \[Sigma]c^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 \[Sigma]b^2 +
b3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 + a2 a3 \[Sigma]d^2) +
b2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 \[Sigma]d^2))]), (c3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 \
+ (b2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b2 b3 \[Sigma]a^2 +
a2 a3 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) +
c2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) + \[Sigma]c^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 \[Sigma]b^2 +
b3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 + a2 a3 \[Sigma]d^2) +
b2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 \[Sigma]d^2))) (b1^2 c3^2 d2^2 \[Sigma]a^2 -
2 b1^2 c2 c3 d2 d3 \[Sigma]a^2 + b1^2 c2^2 d3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 c2^2 d1^2 \[Sigma]b^2 - 2 a2 a3 c2 c3 d1^2 \[Sigma]b^2 +
a2^2 c3^2 d1^2 \[Sigma]b^2 - 2 a3^2 c1 c2 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a2 c3^2 d1 d2 \[Sigma]b^2 + a3^2 c1^2 d2^2 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a3 c1 c3 d2^2 \[Sigma]b^2 + a1^2 c3^2 d2^2 \[Sigma]b^2 +
2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a3 c2^2 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a2^2 c1 c3 d1 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a2 a3 c1^2 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a1^2 c2 c3 d2 d3 \[Sigma]b^2 + a2^2 c1^2 d3^2 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a2 c1 c2 d3^2 \[Sigma]b^2 + a1^2 c2^2 d3^2 \[Sigma]b^2 +
a3^2 b1^2 d2^2 \[Sigma]c^2 - 2 a2 a3 b1^2 d2 d3 \[Sigma]c^2 +
a2^2 b1^2 d3^2 \[Sigma]c^2 + a3^2 b1^2 c2^2 \[Sigma]d^2 -
2 a2 a3 b1^2 c2 c3 \[Sigma]d^2 + a2^2 b1^2 c3^2 \[Sigma]d^2 +
b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 \[Sigma]c^2 +
c2^2 (d1^2 \[Sigma]a^2 + a1^2 \[Sigma]d^2) -
2 c1 c2 (d1 d2 \[Sigma]a^2 + a1 a2 \[Sigma]d^2) +
c1^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2)) +
b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 \[Sigma]c^2 +
c3^2 (d1^2 \[Sigma]a^2 + a1^2 \[Sigma]d^2) -
2 c1 c3 (d1 d3 \[Sigma]a^2 + a1 a3 \[Sigma]d^2) +
c1^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 + a3^2 \[Sigma]d^2)) -
2 b1 b2 (-c3 (c2 d1 + c1 d2) d3 \[Sigma]a^2 + (a3 d1 -
a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) \[Sigma]c^2 -
a3 (a2 c1 + a1 c2) c3 \[Sigma]d^2 +
c3^2 (d1 d2 \[Sigma]a^2 + a1 a2 \[Sigma]d^2) +
c1 c2 (d3^2 \[Sigma]a^2 + a3^2 \[Sigma]d^2)) -
2 b3 (b1 (-c2 d2 (c3 d1 + c1 d3) \[Sigma]a^2 + (a2 d1 -
a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) \[Sigma]c^2 -
a2 c2 (a3 c1 + a1 c3) \[Sigma]d^2 +
c1 c3 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2) +
c2^2 (d1 d3 \[Sigma]a^2 + a1 a3 \[Sigma]d^2)) +
b2 (c2 d1 (c3 d1 - c1 d3) \[Sigma]a^2 + (a2 d1 -
a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) \[Sigma]c^2 +
a1 c2 (-a3 c1 + a1 c3) \[Sigma]d^2 -
c1 c3 (d1 d2 \[Sigma]a^2 + a1 a2 \[Sigma]d^2) +
c1^2 (d2 d3 \[Sigma]a^2 + a2 a3 \[Sigma]d^2)))) > 0 ||
2 Abs[Arg[(b1^2 c3^2 d2^2 \[Sigma]a^2 -
2 b1^2 c2 c3 d2 d3 \[Sigma]a^2 + b1^2 c2^2 d3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 c2^2 d1^2 \[Sigma]b^2 -
2 a2 a3 c2 c3 d1^2 \[Sigma]b^2 +
a2^2 c3^2 d1^2 \[Sigma]b^2 -
2 a3^2 c1 c2 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
2 a2 a3 c1 c3 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a3 c2 c3 d1 d2 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a2 c3^2 d1 d2 \[Sigma]b^2 +
a3^2 c1^2 d2^2 \[Sigma]b^2 - 2 a1 a3 c1 c3 d2^2 \[Sigma]b^2 +
a1^2 c3^2 d2^2 \[Sigma]b^2 +
2 a2 a3 c1 c2 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a1 a3 c2^2 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a2^2 c1 c3 d1 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a2 c2 c3 d1 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a2 a3 c1^2 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a3 c1 c2 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
2 a1 a2 c1 c3 d2 d3 \[Sigma]b^2 -
2 a1^2 c2 c3 d2 d3 \[Sigma]b^2 +
a2^2 c1^2 d3^2 \[Sigma]b^2 - 2 a1 a2 c1 c2 d3^2 \[Sigma]b^2 +
a1^2 c2^2 d3^2 \[Sigma]b^2 + a3^2 b1^2 d2^2 \[Sigma]c^2 -
2 a2 a3 b1^2 d2 d3 \[Sigma]c^2 + a2^2 b1^2 d3^2 \[Sigma]c^2 +
a3^2 b1^2 c2^2 \[Sigma]d^2 -
2 a2 a3 b1^2 c2 c3 \[Sigma]d^2 + a2^2 b1^2 c3^2 \[Sigma]d^2 +
b3^2 ((a2 d1 - a1 d2)^2 \[Sigma]c^2 +
c2^2 (d1^2 \[Sigma]a^2 + a1^2 \[Sigma]d^2) -
2 c1 c2 (d1 d2 \[Sigma]a^2 + a1 a2 \[Sigma]d^2) +
c1^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2)) +
b2^2 ((a3 d1 - a1 d3)^2 \[Sigma]c^2 +
c3^2 (d1^2 \[Sigma]a^2 + a1^2 \[Sigma]d^2) -
2 c1 c3 (d1 d3 \[Sigma]a^2 + a1 a3 \[Sigma]d^2) +
c1^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 + a3^2 \[Sigma]d^2)) -
2 b1 b2 (-c3 (c2 d1 + c1 d2) d3 \[Sigma]a^2 + (a3 d1 -
a1 d3) (a3 d2 - a2 d3) \[Sigma]c^2 -
a3 (a2 c1 + a1 c2) c3 \[Sigma]d^2 +
c3^2 (d1 d2 \[Sigma]a^2 + a1 a2 \[Sigma]d^2) +
c1 c2 (d3^2 \[Sigma]a^2 + a3^2 \[Sigma]d^2)) -
2 b3 (b1 (-c2 d2 (c3 d1 + c1 d3) \[Sigma]a^2 + (a2 d1 -
a1 d2) (-a3 d2 + a2 d3) \[Sigma]c^2 -
a2 c2 (a3 c1 + a1 c3) \[Sigma]d^2 +
c1 c3 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2) +
c2^2 (d1 d3 \[Sigma]a^2 + a1 a3 \[Sigma]d^2)) +
b2 (c2 d1 (c3 d1 - c1 d3) \[Sigma]a^2 + (a2 d1 -
a1 d2) (a3 d1 - a1 d3) \[Sigma]c^2 +
a1 c2 (-a3 c1 + a1 c3) \[Sigma]d^2 -
c1 c3 (d1 d2 \[Sigma]a^2 + a1 a2 \[Sigma]d^2) +
c1^2 (d2 d3 \[Sigma]a^2 +
a2 a3 \[Sigma]d^2))))/(c3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 \
\[Sigma]b^2 + (b2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) -
2 c2 c3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b2 b3 \[Sigma]a^2 +
a2 a3 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) +
c2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 \[Sigma]b^2 + (b3^2 \[Sigma]a^2 +
a3^2 \[Sigma]b^2) \[Sigma]d^2) + \[Sigma]c^2 ((a3 d2 -
a2 d3)^2 \[Sigma]b^2 +
b3^2 (d2^2 \[Sigma]a^2 + a2^2 \[Sigma]d^2) -
2 b2 b3 (d2 d3 \[Sigma]a^2 + a2 a3 \[Sigma]d^2) +
b2^2 (d3^2 \[Sigma]a^2 + a3^2 \[Sigma]d^2)))]] < \[Pi]]