我在欧几里德空间中处理（ a ）点P集合（让我们假设平面保持简单），（ b ）包含P中所有点的边界矩形[a，b] x [c，d]，以及（ c ）一个正整数的向量（m，n），每个正整数编码细分尺寸。基本问题是
如何有效地建立距离P？
的m x n距离网格
特别是，我想在矩形[a，b] x [c，d]的明显mxn网格分解中从P生成距离函数的立方近似：将X方向切割成将m个和Y方向分成n个，并且对于由分区产生的每个小矩形R，计算如下定义的正整数距离 d（R）到P.
考虑一个加权图G，其顶点集V对应于我们网格中的小矩形，邻居之间的权重边缘为$ 1 $（甚至是对角线邻居）。调用一个顶点＆＃34; red＆＃34;如果相应的矩形包含P的点。我想要计算的是V上的函数d取正整数值，它将G中的最短距离与每个顶点相关联到一个红色顶点。因此，如果一个小矩形实际上包含一个来自P的点，则其关联的顶点将被分配＆＃34; 0＆＃34;。如果它不包含P的点但是与矩形相邻（甚至是对角线），那么它得到＆＃34; 1＆＃34;等等...
考虑每个小矩形的每个点的距离并跟踪最小值的天真方法会产生| P | mn的成本，这对于大网格而言似乎过高。所以这是我考虑的第二种方法：将每个d（R）设置为一个大的MAX到网格中的每个R，它不包含来自P的点。然后，为每个R设置d（R）= 0它确实包含一个P点，并将所有具有严格较大d值的邻居抛入一个队列。然后，迭代这个直到队列为空：
我很欣赏任何关于如何更有效地解决这个问题的想法，而不是第二种方法＆＃34;。
答案 0 :(得分：2)
您正在谈论二进制图像中的拓扑距离。矩形可以看作像素，包含P的点定义距离0.距离1用于紧邻的像素（通过边缘或角，8连接），距离紧邻后者的距离为2，因此上。
使用队列计算距离图是个好主意。通过推送level0像素的所有8个邻居来初始化队列。然后弹出它们，分配level1，然后推送未分配的8个邻居......（就像你描述的那样）。
这是线性过程（每个像素处理的次数是恒定的），因此它是最佳的，因为需要计算每个像素的水平。你不能做得更好。
我猜你也可以通过双程扫描线过程填充距离图。
1）从左到右进行处理，依次考虑每个像素的4个顶部和左边8个邻居。 （取邻居中的最小级别并加1）。
2）然后从左下角到左上角进行处理，考虑4个底部和右边8个邻居。
答案 1 :(得分：1)
您当前的算法适用于低维度。通常对于k维度，根据您允许对角线的当前方案，每个网格单元将有3 ^ k-1个邻居，因为对于任何给定的网格位置，要生成相邻位置，您可以选择任何方式来分配位移每个坐标独立地为-1,0或1，但不允许由k 0组成的位移矢量。
让我们调用单元格的总数p（例如，对于k = 2，p = mn）。每个网格单元必须至少被拉出队列一次，即使我们应用技巧来寻找避免将所有邻居推入队列的方法，在我看来，所有3 ^ k-1的此时它的邻居仍然必须检查，所以我认为没有办法避免O（3 ^ k * p）的运行时间。
然而，这也给出了用于保持队列的O（3 ^ k * p）算法的上限空间。这可能不紧，但我仍然可以得到k维度的O（1.5 ^ k * p）空间使用的低界限，具有以下结构，我将首先描述2D情况：考虑从任意数量的2x2块构建的问题实例，其中每个块中的单元（0,0）不包含点，并且周围的3个单元各自包含一个或多个点。 （更高维度的模拟在每个维度中都有一个宽度为2的重复块，每个块中的单元格（0,0，...，0）不包含任何点，另一个2 ^ k-1具有一个或者更多。）每个块内的（0,0，...，0）的单元格具有距离值为0的3 ^ k-1个邻居的完整队列，因此它将被推入队列3 ^ k-1次在第一个副本从队列中拉出之前。我们唯一的缓解因素是输入中每2 ^ k个单元中只有1个具有此属性，因此总共（3 ^ k-1）/ 2 ^ k = O（1.5 ^ k）单元将被推到平均每个单元的队列，或整体O（1.5 ^ k * p）。 （当然，其他结构可能会产生更高的上界......）
然而，仅仅通过维护m * n标志数组就可以摆脱这个1.5 ^ k因子，该数组指示特定单元格是否已被推入队列。这是有效的，因为从队列中读取单元格时总距离永远不会减少（这是广度优先搜索，当搜索图中的所有边都具有单位权重时，这是最佳优先搜索），所以第一次当一个单元被分配到它的最小值时，它被拉出队列。这意味着不需要首先推送该单元的剩余副本，你可以通过检查它来避免这样做。在执行此操作之前，该单元格的相应标志，然后进行设置。你需要为标志提供额外的O（p）空间，但是这并不比你已经用来保存输入的空间大得多，并且每个标志实际上可以是一个位，并且这会降低（上限）整体空间复杂度降至O（p）。