“（1：k）树匹配” - 在多项式时间内可解？

Question

几个月前，有一个nice question关于“ 1：n匹配问题”，似乎没有多时间算法。

我想添加约束以找到与多项式算法的1：n匹配问题的最大匹配。我想说：“对于顶点A1，如果顶点尚未从另一个顶点取出，则选择{B1，B2，B5}或{B2，B3}”即我不允许所有可能的组合。

如果我们为每个选择引入辅助顶点H并用树=>替换边缘，则可以表示这个。我们遇到类似于普通二分匹配的问题。 A或B的每个顶点在匹配中只能有一个边。 H中顶点或来自顶点的边缘都在匹配中，或者在匹配中不存在。想象一下下面的三分图：

现在定义h_ij =“包含H_ij的树根”以轻松表达匹配：

• 然后在示例中M = {h12，h22}将是一个'最大'匹配，尽管并非涉及B的所有顶点
• 集合{h12，h23}不匹配，因为B3将被选择两次。

这个问题可以在多项式时间内解决吗？如果是，是否有加权（w（h_ij））变量的多时间解？如果不是，你可以争论甚至证明它是像我这样的“简单人”，还是建议其他约束来解决1：n匹配问题？

E.g。可以将图形转换为一般图形，然后可以通过一般图形的加权匹配来求解吗？或者branchings甚至matching forests可以在这里提供帮助吗？

PS：不是作业;-)

Answer 1

最大值和最大值之间存在差异。我认为你在下面的写作中意味着最大值。

您似乎没有非常清楚地定义您的问题，但如果我已正确理解您的意图，那么您的问题似乎是NP完整（并且与'{3}}'等效'）。

我们可以假设允许的集合大小与所有A_i相同（k）以找到[1：k]匹配，因为可以忽略任何其他集合大小。为了找到最大k，我们只运行[1：k]的算法，k = 1,2,3 ..等等。

所以你的问题是（我认为......）：

给定m个集合族F_i = {S_1i, .., S_n(i)i}（| F_i | = F_i = n（i）的大小，不必与| F_j |相同），每个大小为k的集合，你必须从每个集合中找到一个集合家庭（比如S_i）这样

• S_i和S_j与任何i neq j不相交。
• S_i的数量是最大的。

我们可以分两步显示k = 3的NP-Complete：

1. 可以减少NP-Complete问题Set Packing。这表明它是NP-Hard。
2. 您的问题在NP中，可以缩减为Set Packing。这和1）意味着你的问题是NP-Complete。它还可以帮助您利用已存在的Set-Packing的任何近似/随机算法。

设置包装是个问题：

给定n个集合S_1，S_2，...，S_n，找到这些中成对不相交集的最大数量。

即使| S_1 |，此问题仍然是NP-Complete = | S_2 | = ... = | S_n | = 3，称为3组包装问题。

我们将使用它来显示您的问题是NP-Hard，通过简单地将3-Set打包减少到您的问题。

给定S_1，S_2，..，S_n只是形成族

F_i = {S_i}。

现在，如果你的问题有一个多项式时间解决方案，那么我们得到一组集合{S_1，S_2，...，S_r}，这样

• S_i和S_j是不相交的
• S_i的数量最大。

这种简单的减少为我们提供了解决3套包装问题的解决方案，因此您的问题是NP-Hard。

要查看此问题是在NP中，我们将其减少为Set-Packing，如下所示：

给定F_i = {S_1i，S_2i，...，S_ni}

我们考虑集合T_ji = S_ji U {i}（即我们将该族的id添加到集合本身中）并通过Set-Packing算法运行它们。我将留给您，看看为什么Set-Packing的解决方案可以解决您的问题。

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对于最大解决方案，您只需要一个贪心算法。只要继续拿起套装，直到你不能再挑选。这将是多项式时间。