Question

我从一个没有边缘的N个节点的图表开始。

然后我继续采取M预定的步骤。

在每个步骤中，我必须在两个节点之间创建边缘，或删除边缘。

在每个步骤之后，我必须打印出图表中有多少个连接的组件。

是否有一种算法可以在M时间线性地解决这个问题？如果没有，在最坏的情况下是否有一个比O(min(M,N) * M)更好的？

编辑：

该计划无法确定M步骤是什么。

我必须从输入中读取，我是应该创建边缘还是删除它，以及我应该创建/删除哪个边缘。

示例输入可能是

N = 4
M = 4
JOIN 1 2
JOIN 2 3
DELETE 2 3
DELETE 1 2

然后我的输出应该是

3 # (1 2) 3 4
2 # (1 2 3) 4
3 # (1 2) 3 4
4 # 1 2 3 4

Answer 1

有很多方法可以完全在线解决这个问题，但它们比这个答案更复杂。我建议的算法是维护可用边缘的生成森林，以及生成森林的组件数量（以及图形）。如果我们在线完全攻击这个问题，那么这将是有问题的，因为跨越森林边缘可能会被删除，让我们通过未使用的边缘进行替换。但是，我们知道图表中当前的每个边缘将被删除多久。

我们维护的特定生成林是最大权重生成林，其中每个边的权重是其删除时间。如果删除了属于此生成林的边缘，则没有替换，因为连接其端点所表示的组件的每个其他边缘尚未插入，或者权重较小，已被删除。

由于Sleator和Tarjan，有一个动态树数据结构，也称为链接/剪切树，可以在对数时间内提供以下操作。

Link(u, v, w) - inserts an edge between u and v with weight w;
                u and v must not be connected already

Cut(u, v) - cuts the edge between u and v, if it exists;
            returns a boolean indicating whether an edge was removed

FindMin(u, v) - finds the minimum-weight edge on the path from u to v
                  and returns its endpoints and weight;
                returns null if either u = v or u and v are not connected

要保持林，当插入从u到v的边时，将其删除时间与从u到v的路径上的最小值进行比较。如果最小值不存在，则插入边。如果最小值小于新边缘，则删除最小值并将其替换为新边缘。否则，什么也不做。当删除从u到v的边缘时，尝试将其从林中删除。

此方法的运行时间为O（m log n）。如果你没有动态树，那么它肯定需要很长时间才能实现。我没有使用适当的动态树，而是成功地使用了一个更简单的数据结构，它只将森林存储为一堆带有权重和父指针的节点。然后运行时间是O（m d），其中d是图表的最大直径，如果你很幸运，d比n要小很多。

在图中长时间检测节点的连通性

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