随机生成图中的“连通性”

Question

在过去的3-4天里，我一直在玩python中实现图形和相关结构。除此之外，我还有一个简单的函数来生成随机图，即两个顶点以给定概率连接的图。然后使用graphviz显示图表。

无论如何，在上述活动过程中，我注意到几乎所有具有给定顶点数的图形都是连接的。几个问题：

• 是否有其他“属性”经历了类似的“过渡”？
• 我相信其他人必须更严格地审查这件事。任何指针？

Answer 1

好问题！

事实上，随机图的主题是众所周知的，可以追溯到1959年的鄂尔多斯和仁义。

阈值的观察也很好。图的其他属性共享这种“阈值”现象。

事实上，已经证明大多数“单调”属性都具有这种“阈值”属性。 Erdös和Rényi证实了这一点（根据下面提到的那本书）。

如果n个顶点上的图H具有P意味着H的任何超图G（在n个顶点上）（即H是G的子图）也具有P，则属性P是单调的。例如，哈密顿循环是一个这样的属性。连通性是另一个。

注意：单调性的这种定义可能与图论的其他文本不同。我提到了下面书中提供的那个。

BélaBollobás的书Random Graphs应该让你开始。有关具有“阈值”的单调属性的讨论，请参见第40页。我必须警告你，那本书使用了一些相当重的数学。