重建二叉搜索树/四叉树/八叉树的时间复杂度？

Question

假设我有一个包含N个节点的二叉搜索树。或者四叉树或八叉树，如果它们有任何区别。

然后让我说我运行一个算法来改变树中的所有键。移动东西似乎很复杂。也许实际上有一个很好的算法，但是让我说我​​采取简单的路线：我迭代树，将密钥存储在一个列表中，并通过重复重新插入从头开始重建树。也就是说，完全重建。

进行这种重建可以达到什么时间复杂度？有N个节点，每次插入需要log N次，但我无法理解树木生长时会发生什么。

Answer 1

由于插入（平衡）BST需要Θ(log n)，树开始于0个节点，然后是1节点，然后是2等，我们得到一个运行时间：

Θ(log 1 + log 2 + ... + log n)

从这里开始，我们可以直接说出运行时间为Θ(n log n)，因为：（related post）

log 1 + log 2 + ... + log n <= log n + log n + ... + log n
                             = n log n

log 1 + ... + log n/2 + ... + log n >= log n/2 + ... + log n
                                    >= log n/2 + ... + log n/2
                                     = n/2 log (n/2)

这也与tree sort有关。

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我们实际上可以证明我们不能比Θ(n log n)

更快地做到这一点

It's been proven要求平均至少Θ(n log n)次排序（使用基于比较的算法）。

由于我们可以在Θ(n)中迭代BST，因此我们可以直接推断出我们至少需要Θ(n log n)次插入。

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注意 - 对于非平衡BST，运行时间实际上为Θ(n²)，因为不平衡BST的最坏情况插入时间为Θ(n)，因此我们有：

Θ(1 + 2 + ... + n) = Θ(n(n+1)/2) = Θ(n²)

Answer 2

假设您使用的是自平衡树，那么您已经回答了自己的问题，“有N个节点，每个插入需要N次。”重要的是树是自平衡的，因为这是允许您做出每个插入花费log N时间的语句的原因。对于不平衡树，插入时间可能是线性最坏情况。