如何基于给定的正则表达式构造CFG

Question

我试图弄清楚如何基于给定的正则表达式构造CFG（无上下文语法）。 例如，a（ab）*（a | b） 我认为有一个算法可以通过，但它确实令人困惑。 这是我到目前为止所得到的：

    S->aAB; 
    A->aAb|empty;
    B->a|b;

这看起来不错吗？ 任何帮助将不胜感激。

Answer 1

分为三个部分构建CFG，每个部分适用于a，(ab)*和(a|b)。

对于(a|b)，您的B -> a | b是正确的。

(ab)*表示ab，abab，ababab等字符串。所以A -> abA | empty将是正确的制作。

因此，完整的语法变为：

S -> aAB
A -> abA | empty
B -> a | b

注意：A -> aAb | empty会派生出ab，aabb，aaabbb等字符串，而不是regular language，并且不可能代表regular expression。

Answer 2

为给定的正则表达式构造无上下文语法的另一种方法是：

1. 构造一个有限状态机，它接受与正则表达式相同的语言。
2. 创建一个语法，其终端是正则表达式的字母表，其非终端是（或对应于1：1）状态机中的状态，并且具有{{1}形式的规则对于终端符号t上从状态X到状态Y的每个状态机转换。如果您的CFG表示法允许，则每个最终状态F都会获得X -> t Y形式的规则。如果您的CFG表示法不允许这样的规则，那么对于从终端t的状态X到最终状态F的每次转换，产生规则F -> epsilon（除了已经描述的规则X -> t之外）。结果是一个常规语法，一个无上下文的语法，遵循每个右侧最多有一个非终端的额外约束。

对于给出的示例，假设我们构造了以下FSA（许多接受与正则表达式相同的语言）：



由此可以直接推导出以下常规语法：

X -> t F

或者，如果我们不想要具有空右侧的规则，请删除该语法的最后三个规则并添加：

S -> a A1
A1 -> a A2
A2 -> b B3
B3 -> a A2
B3 -> a A4
B3 -> b B5
A1 -> a A4
A1 -> b B5
A4 -> epsilon
B5 -> epsilon
epsilon -> 

与其他方法相比，这种方法的缺点是结果语法比它需要的更冗长，并且推导可以完全机械化的优点，这意味着它更容易正确而不必刻意思考。