使用距离将点定位到3-D中的其他三个点

Question

假设我们在3-D中有4个点（P1，P2，P3，P4）。 如果这些点的坐标以其欧几里德距离给出第五个点P5（r1，r2，r3，r4），那么如何计算P5的坐标？

在this帖子中，Don Reba的回答非常适合2-D。但是我该如何将它扩展到3-D？

这是我的2D代码：

    static void localize(double[] P1, double[] P2, double[] P3, double r1, double r2, double r3)
    {
        double[] ex = normalize(difference(P2, P1));
        double i = dotProduct(ex, difference(P3, P1));
        double[] ey = normalize(difference(difference(P3, P1), scalarProduct(i, ex)));
        double d = magnitude(difference(P2, P1));
        double j = dotProduct(ey, difference(P3, P1));
        double x = ((r1*r1) - (r2*r2) + (d*d)) / (2*d);
        double y = (((r1*r1) - (r3*r3) + (i*i) + (j*j)) / (2*j)) - ((i*x) / j);
        System.out.println(x + " " + y);

    }

我想用签名

重载函数

static void localize(double[] P1, double[] P2, double[] P3, double[] P4, double r1, double r2, double r3, double r4)

Answer 1

Wikipedia trilateriation article描述了答案。计算步骤如下：

1. e _x =（P2 - P1）/‖P2 - P1‖
2. i = e _x （P3 - P1）
3. e _y =（P3 - P1 - i·e _x ）/‖P3 - P1 - i·e _x ‖
4. d =‖P2 - P1‖
5. j = e _y （P3 - P1）
6. x =（r ₁ ² - r ₂ ² + d ² ）/ 2d
7. y =（r ₁ ² - r ₃ ² + i ² + j ² ）/ 2j - ix / j
8. z =±sqrt（r ₁ ² - x ² - y ² ）

Answer 2

你需要求解四个方程的系统（i = 1..4，Di是到第i个点的距离）

(X-Xi)^2+(Y-Yi)^2+(Z-Zi)^2=Di^2

可以解决三个方程的系统，并使用第四个来选择适当的解（从两个）。

这就是GPS的工作原理（时间延迟适用于距离）。

在GPS接收机中经常使用优化方法，特别是当许多卫星可用且代数解决方案可能不稳定时。