Question

我们总是看到（二分搜索）树上的操作具有O（logn）最差情况下的运行时间，因为树高是logn。我想知道我们是否被告知算法的运行时间是logn的函数，例如m + nlogn，我们可以得出结论它必须涉及（增强的）树吗？

编辑：感谢您的评论，我现在意识到分治和二叉树在视觉/概念上是如此相似。我从来没有在两者之间建立联系。但我想到一个案例，其中O（logn）不是一个分治算法，它涉及一棵没有BST / AVL /红黑树属性的树。

这是具有查找/联合操作的不相交的集合数据结构，其运行时间为O（N + MlogN），其中N是元素的数量，M是查找操作的数量。

如果我错过了，请告诉我，但我看不出分治在这里如何发挥作用。我只是在这个（不相交的集合）情况下看到它有一个没有BST属性的树，而运行时间是logN的函数。所以我的问题是为什么/为什么我不能从这个案例中进行推广。

Answer 1

不，您也可以二进制搜索已排序的数组（例如）。但是不要相信我的话http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_algorithm

Answer 2

你所拥有的只是倒退。 O(lg N)通常意味着某种分而治之的算法，实现分而治之的一种常见方式是二叉树。虽然二叉树是所有分而治之算法的重要子集，但无论如何都是子集。

在某些情况下，您可以将其他划分和征服算法直接转换为二叉树（例如，对另一个答案的评论已经尝试声称二进制搜索类似）。然而，仅仅为了另一个明显的例子，一个多路树（例如B树，B +树或B *树），而显然一棵树就像不二叉树一样明显。

同样，如果你想要足够严重，你可以扩展多径树可以表示为二叉树的扭曲版本的点。如果你愿意，你可以扩展所有的例外，以便说它们都是（至少是类似的）二叉树。然而，至少对我来说，所做的就是让“二叉树”成为“分而治之”的代名词。换句话说，你所完成的只是扭曲词汇量，基本上抹掉了一个既独特又有用的术语。

Answer 3

作为反例：

given array 'a' with length 'n'
y = 0
for x = 0 to log(length(a))
    y = y + 1
return y

运行时间是O（log（n）），但这里没有树！

Answer 4

答案是否定的。对已排序数组进行二进制搜索是O(log(n))。

Answer 5

采用对数时间的算法通常在二叉树上的操作中找到。

O（logn）的例子：

Answer 6

由于O（log（n））只是一个上限，所有O {1）算法（如function (a, b) return a+b;）也满足条件。

但是我必须同意所有的Theta（log（n））算法看起来像树算法，或者至少可以抽象到树上。

Answer 7

简答：

仅仅因为算法将log（n）作为其分析的一部分并不意味着涉及树。例如，以下是一个非常简单的算法O(log(n)

for(int i = 1; i < n; i = i * 2)
  print "hello";

如您所见，没有涉及树。 John还提供了关于如何在排序数组上完成二进制搜索的一个很好的例子。这些都需要O（log（n））时间，并且还有其他可以创建或引用的代码示例。所以不要根据渐近时间复杂度做出假设，看一下代码就知道了。

更多关于树木：

仅仅因为算法涉及“树”并不意味着O(logn)。您需要知道树类型以及操作如何影响树。

一些例子：

插入或搜索以下不平衡树将为O(n)。

通过O(log(n))插入或搜索以下平衡树。

平衡二叉树：

3级平衡树：

其他评论

如果您使用的树木无法“平衡”，那么您的操作很可能O(n)时间不是O(logn)。如果使用自平衡的树，则插入通常需要更多时间，因为树的平衡通常在插入阶段发生。