我目前正在研究旅行商问题，并且想知道是否有人能够简单地解释持有的karp下限。我一直在看很多论文，我很难理解它。如果有人可以简单地解释它会很棒。
我也知道有一种方法可以计算不包括起始顶点的顶点的最小生成树，然后从起始顶点添加两个最小边。
答案 0 :(得分：8)
我会尝试解释这一点，而不会涉及太多细节。我会避免使用正式证据，我会尽量避免使用技术术语。但是，一旦你阅读了所有内容，你可能想要再次检查所有内容。最重要的是;自己尝试算法。
<强>简介
1-tree树是一个树，由一个顶点连接到生成树的2个边。您可以自己检查每个TSP巡回赛是1-Tree。
还有图表的最小1-Tree这样的东西。这是您遵循此算法时生成的树：
*现在，我假设您知道最小1树是最佳TSP巡回的下限。最后有一个非正式的证据。
当您排除不同的顶点时，您会发现生成的树是不同的。但是，所有生成的树都可以被认为是TSP中最佳游览的下限。因此，你发现这种方式中最小的1棵树是最好的下限，而其他人就是这样找到的。
Held-Karp下限
Held-Karp下限是一个更严格的下限。
这个想法是你可以用特殊的方式改变原始图形。此修改后的图形将生成与原始树不同的最小1树。
此外（这很重要，因此我将在本段中用不同的词语重复它），修改使得所有有效TSP巡回的长度都被相同（已知）常量修改。换句话说，此新图中有效TSP解的长度=原始图中有效解的长度加上已知常量。例如：假设在原始图形中按顺序访问顶点A，B，C和D的TSP巡视的权重= 10.然后，在修改的图形中以相同顺序访问相同顶点的TSP巡视的权重= 10 +一个已知的常数。
这当然也适用于最佳TSP巡演。因此，修改图中的最佳TSP巡回也是原始图中的最佳巡回。并且修改图的最小1-树是修改图中最佳巡回的下界。同样，我只是假设你明白这会为你修改过的图形的最佳TSP之旅产生一个下限。通过从修改后的图形的下限中减去另一个已知常量，您的原始图形有一个新的下限。
您的图表中有无数的此类修改。这些不同的修改导致不同的下限。这些下界中最紧密的是Held-Karp下界。
如何修改图表
现在我已经解释了Held-Karp下限是什么，我将向您展示如何修改图形以生成不同的最小1树。
使用以下算法：
例如，原始图形具有顶点A，B和C，边缘AB = 3，边缘AC = 5，边缘BC = 4.对于算法，您可以将（任意）权重分配给顶点A：30 ，B：40，C：50然后，修改后的图中边缘的最终权重为AB = 3 + 30 + 40 = 73，AC = 5 + 30 + 50 = 85，BC = 4 + 40 + 50 = 94。
修改的已知常数是给予顶点的权重之和的两倍。在此示例中，已知常量为2 *（30 + 40 + 50）= 240.注意：修改后的图形中的游览因此等于原始游览+ 240。在此示例中，只有一个游览即ABC。原始图形中的游览长度为3 + 4 + 5 = 12.修改后的图形中的游览长度为73 + 85 + 94 = 252，实际上是240 + 12。
常量等于给予顶点的权重之和的两倍是因为TSP巡视中的每个顶点都具有2阶。
你需要另一个已知的常数。您从最小1树中减去常数以获得下限。这取决于找到的最小1树的顶点的程度。您需要将给定每个顶点的权重乘以该最小1树中的顶点的度数。全部加起来。例如，如果您给出了以下权重A：30，B：40，C：50，D：60并且在您的最小生成树中，顶点A的度数为1，顶点B和C的度数为2，顶点D的度数为3你的常数减去下限= 1 * 30 + 2 * 40 + 2 * 50 + 3 * 60 = 390。
如何找到Held-Karp下限
现在我相信还有一个问题没有答案：如何找到对图表的最佳修改，以便获得最严格的下限（以及Held-Karp下限）？
嗯，那是困难的部分。没有钻研太深：有办法越来越接近Held-Karp的下限。基本上，人们可以继续修改图形，使得所有顶点的程度越来越接近2.因此越来越接近真实的巡回演出。
最小1树是下限
正如所承诺的，我会给出一个非正式的证明，即最小1树是最佳TSP解决方案的下限。最小1树由两部分组成：最小生成树和附有2个边的顶点。 TSP巡视必须通过附加到最小生成树的顶点。最简单的方法是通过附加的边缘。游览还必须访问最小生成树中的所有顶点。该最小生成树是除了附加顶点之外的图的最佳TSP的下限。结合这两个事实可以得出结论，最小1树是最佳TSP巡回的下限。
<强>结论
以某种方式修改图形并找到此修改图形的最小-1树以计算下限。通过这些方法的最佳可能下限是Held-Karp下限。
我希望这能回答你的问题。
<强>链接
对于更正式的方法和其他信息，我建议使用以下链接：