Eratosthenes的筛选与试验时间的复杂性

Question

根据此链接http://www.cs.hmc.edu/~oneill/papers/Sieve-JFP.pdf

通过试验分部找到素数列表的时间复杂度

n*sqrt(n)/ln(n)^2

和使用Eratosthenes筛选寻找素数的时间复杂度是

n*ln(ln(x))

该论文声称筛子比试验分割具有更好的时间复杂性。但是，如果我绘制这些函数，筛子显然会更糟糕：

此图片是使用查询

在WolframAlpha上创建的

PLOT ( n*sqrt(n)/ln(n)^2 / (n*ln(ln(n)) )) from 1 to 100

因此，仅基于大O符号，我会得出结论，对于任意大的n，试验除法应该更好。 这个结论是否正确？

但如果我更改常量，结果可以切换。似乎没有与常数无关的渐近发散。根据大O符号的时间复杂度，总结出哪种算法对于任意大的n更好，似乎没有用。知道哪一个更好的唯一方法是比较实现。 我做出了错误的结论吗？

Answer 1

  

该论文声称筛子比试验具有更好的时间复杂性   师。但是，如果我绘制这些功能，筛子很明显   更差。因此，仅基于大O符号我会得出结论   对于任意大的n，试验师应该更好。这是   结论正确吗？

不，结论是错误的，情节没有显示整个图片，因为你需要考虑常数和函数行为以获得更大的n值。

要检查函数f(n)是否“渐近优于”函数g(n)，您需要查看无限远处发生的情况。这可以这样做：

lim_{n->infinity} f(n)/g(n)

现在，您有三种可能性：

1. 限制是无限 - ＆gt; f（n）优于g（n）
2. 极限是常数＆gt; 0 - ＆gt;函数的行为渐近相似，实际上f（n）在Theta g（n）中，反之亦然。
3. 极限为0 - g（n）优于f（n）。

From checking your functions on wolfram alpha，我们可以得出结论，第一个 - n*sqrt(n)/ln(n)^2是'较慢'，当涉及到大O符号时。

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对于n的'小'值 - 所有投注均已关闭，并且大O符号对于这些情况不提供信息。要对这些情况做出信息性的决定，您需要考虑常量和其他事物（有些是机器相关的）。对此的可靠答案不是理论上的，应该使用经验实验和statistic tests来实现。

Answer 2

1. 请注意，试验部门在每个步骤都使用除法（与加法或乘法相比，现代处理器上的操作速度较慢），而Eratosthenes的筛子则没有。因此，试验分割方法可能会有更大的常数。另一个因素是筛子所需的空间，但通常会更便宜。

2. 当数字为100阶时，试验部门的效率确实可以相提并论。尽管如此：(link)。筛选的真实用例是当你想要检查数百万个连续数字的素数时。

Answer 3

你没有使用足够多的数字。然后情况改变了：

真正的答案是empirical orders of growth。在n的每个特定范围内，我们可以通过n^a与a近似估算增长函数。审判师约为n^1.4，而Eratosthenes的筛子约为n^1.05。现在没有混淆：

td n = n**1.5  / (log n)**2
se n = n * log (log n)

_a f n = log ( f (n*1.1) / f n ) / log 1.1
                         --  10K 100K 1M   5M  10M   100M
Haskell> map (_a td.(*1000)) [10,100,1000,5000,10000,100000] :: [Float]
[1.2839688, 1.3269958, 1.3557304, 1.3707384, 1.3762819, 1.3917062]

Haskell> map (_a se.(*1000)) [10,100,1000,5000,10000,100000] :: [Float]
[1.0485349, 1.0353413, 1.0274352, 1.0235956, 1.0222284, 1.0185674]

无论常数因素如何， n ^ 1.4 过程都不会超过 n ^ 1.05 过程。

最终，您需要比较实现，正如您所说。但是你可以通过比较它们的经验（即实际测量的运行时间） local （即在n的给定范围内进行比较，这是您感兴趣的）< em>增长顺序（通过使用渐近函数在上面模拟）。 不函数的绝对值，尤其是未知常数因子。