Question

我想在Coq中证明这个引理：

a : Type
b : Type
f : a -> b
g : a -> b
h : a -> b
______________________________________(1/1)
(forall x : a, f x = g x) ->
(forall x : a, g x = h x) -> forall x : a, f x = h x

我知道Coq.Relations.Relation_Definitions定义了关系的传递性：

Definition transitive : Prop := forall x y z:A, R x y -> R y z -> R x z.

简单地使用证明策略apply transitivity显然会失败。如何将传递性引理应用于上述目标？

Answer 1

transitivity策略需要一个参数，这是你想要引入平等的中间术语。首先调用intros（这几乎总是在证明中做的第一件事）在环境中很好地得到假设。然后你可以说transitivity (g x)并且你有两个直接的假设应用。

intros.
transitivity (g x); auto.

您还可以让Coq猜测要使用哪个中间词。这并不总是有效，因为有时候Coq会找到一个最终不能解决的候选人，但是这个案例很简单并且可以立即使用。 transitivity适用的引理是eq_trans;使用eapply eq_trans保持子项开放（?）。第一个eauto选择一个适用于证明的第一个分支的子项，这里它也适用于证明的第二个分支。

intros.
eapply eq_trans.
eauto.
eauto.

这可以缩写为intros; eapply eq_trans; eauto。它甚至可以进一步缩写为

eauto using eq_trans.

eq_trans不在默认的提示数据库中，因为它经常导致不成功的分支。

Answer 2

好吧，我走错了路。以下是引理的证明：

Lemma fun_trans : forall (a b:Type) (f g h:a->b),
  (forall (x:a), f x = g x) ->
  (forall (x:a), g x = h x) ->
  (forall (x:a), f x = h x).
Proof.
    intros a b f g h f_g g_h x.
    rewrite f_g.
    rewrite g_h.
    trivial.
Qed.

Coq：应用具有替代的传递性

2 个答案: