Question

我有一个已经被证明的证明。

Lemma Equal_Trans : forall T : Type, forall y x z: T, 
      Equal x y -> Equal y z -> Equal x z.

其次，我对加法可交换性证明进行了修正。

Lemma Add_com : forall x x': Nat, Equal (Add x x') (Add x' x).
Proof.
intros.
induction x.
simpl.
apply Add_zero.
simpl.
apply (Equal_Trans Nat (S (Add x' x)) ). (* var y *)
apply Equal_Morph.
assumption.
apply Add_S.
Qed.

但是，我不了解Equal_trans的用法（第8行）。据我了解，Equal_Trans接受3个参数：y x z？但是，为什么在Add_com引理中只有1个使用Equal_Trans的参数？

预先感谢您的帮助。

Answer 1

策略apply试图填充空白以使提供的术语类型与目标匹配。在这种情况下，目标（使用战术时）可能类似于a = b（根据您的跟踪，实际上是Equal a b）。 Equal_Trans的类型（当使用所有参数时）为x = z（Equal x z），因此，为了统一这两种类型，我们应分别使用x := a和{{1} }。只会使z := b含糊不清，因此我们必须提供它。

要解决您的问题，不，y不能仅将用作一个参数。它需要一个类型（在您的情况下为Equal_Trans），该类型的三个元素（Nat，y和x）和两个相等证明。但是，请记住，Coq中的函数是经过咖喱处理的，这意味着您可以使用更少的参数来调用它们，但是结果将是其余参数的函数。

实际上，当我们说z时，是说“拿起类型为apply (Equal_Trans Nat (S (Add x' x)).的东西，并尝试填写一些参数以使其与我的目标相匹配”。

Coq查看该类型并意识到目标已经看起来像forall (x z: Nat), Equal x (S (Add x' x)) -> Equal (S (Add x' x)) z -> Equal x z，因此可以推断出Equal x z和x的含义。 z仍然接受Coq无法自行解决的两个论点（Equal_Trans和Equal x y的证明），因此其余的证明正在做。 >

我们在Equal y z中使用传递性，因为我们可以使用归纳假设（y := S (Add x' x)）来证明Equal (S (Add x x')) (S (Add x' x))。我们也可以使用IHx的定义来证明Equal (S (Add x' x)) (Add x' (S x))。因此，自然通过Add传递平等证明。

现在，我们还没有使用S (Add x' x)的可传递性。我们可以证明y := S (Add x' x)和(S (Add x x'))都等于(Add x' (S x))的其他元素。但是最简单，最直接的路线是通过Nat。

Answer 2

非常感谢您的帮助。

据我了解，Equal_trans仅接受1个参数，y参数？

但是，在执行命令apply (Equal_Trans Nat (S (Add x' x)) )之前，CoqIDE告诉我：

1 subgoal
x, x' : Nat
IHx : Equal (Add x x') (Add x' x)
______________________________________(1/1)
Equal (S (Add x x')) (Add x' (S x))

我不明白为什么，在这里，我必须使用y：= S（加x'x）来应用Equal_trans吗？

解释等价coq

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