应用部分实例化的引理

Question

让我们假设我们想要证明以下（完全做作的）引理。

Lemma lem : (forall n0 : nat, 0 <= n0 -> 0 <= S n0) -> forall n, le 0 n.

我们想申请nat_ind来证明这一点。这是一个可能的证明：

Proof.
  intros H n. apply nat_ind. constructor. exact H.
Qed.

但为什么不直接在应用策略中使用H，使用apply (nat_ind _ _ H)或eapply (nat_ind _ _ H)之类的内容？但是第一个失败了，第二个隐藏了存在变量中的剩余目标。

是否有可能在apply或其衍生物中跳过假设以指定其他参数，同时将其作为证据其余部分的经典目标？

Answer 1

如果你这样做

intros. refine (nat_ind _ _ H _). 

然后你只有

0 <= 0

留。这对你的情况有用吗？

Answer 2

另一种方法（比我的其他答案更通用）将使用apply ... with ...构造，如下所示：

intros H n.
apply nat_ind with (2 := H).

此处，2指的是nat_ind的归纳步骤参数（参见Coq v8.5参考手册，8.1.3）：

  

在(ref_1 := term_1) ... (ref_n := term_n)形式的绑定列表中，ref是ident或 num 。 ...如果ref_i是某个数字 n ，则此数字表示该术语的 n - 非依赖前提，由术语类型决定。

Answer 3

这部分证据

intros H n.
apply nat_ind, H.

会给你0 <= 0作为唯一的子目标。

这种方法使用apply策略，但没有回答它的一般性问题，因为它只有在你想要实例化 last 参数时才会起作用（这是问题中的例子）。 以下是Coq参考手册中的引用：

  

apply term_1 , ... , term_n

     

这是apply term_1 ; [ .. | ... ; [ .. | apply term_n ]... ]的快捷方式，即term_(i+1)从apply term_i的应用开始term_1生成的最后一个子目标的连续应用。

此外，由于它只是语法糖，因此在问题的背景下，解决方案可能被视为作弊（并且，我猜，滥用Coq战术开发者的原始意图）。