Question

给出3分A，B和C

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我怎样才能找到并且从A开始，从C结束并通过B;它的中心坐标，半径和角度为r和r'？

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Answer 1

有几种方法可以做到这一点。这是一种算法：

获取您的COORDS

A = {xA，yA}

B = {xB，yB}

C = {xC，yC}

d = {xd，yd}
计算AB和BC线的中点

mid_AB = {（xA + xB）/ 2，（yA + yB）/ 2}

mid_BC = {（xB + xC）/ 2，（yB + yC）/ 2}
找到AB和BC线的斜率

slope_AB =（yB-yA）/（xB-xA）

slope_BC =（yC-yB）/（xC-xB）
构建贯穿中间点PERPENDICULAR到AB和BC的行（感谢Yves抓住否定！）

Slope_perp_AB = - （slope_AB）^（ - 1）

Slope_perp_BC = - （slope_BC）^（ - 1）

***带有Slope_perp_AB的行贯穿mid_AB

***带有Slope_perp_BC的线路贯穿mid_BC
设置两个方程彼此相等并求解找到交点！这给你点d = {xd，yd} !!!

使用中心点d！

Answer 2

圆的中心与三个给定点等距：

(X-Xa)^2+(Y-Ya)^2 = (X-Xb)^2+(Y-Yb)^2 = (X-Xc)^2+(Y-Yc)^2

从第二个和第三个成员中减去第一个成员，我们在重组后得到：

2(Xa-Xb) X + 2(Ya-Yb) Y + Xb^2+Yb^2-Xa^2-Ya^2 = 0
2(Xa-Xc) X + 2(Ya-Yc) Y + Xc^2+Yc^2-Xa^2-Ya^2 = 0

这两个未知数的两个方程的线性系统很容易用Cramer的规则求解。

可以使用围绕中心的笛卡尔到极坐标变换找到半径和角度：

R= Sqrt((Xa-X)^2+(Ya-Y)^2)

Ta= atan2(Ya-Y, Xa-X)
Tc= atan2(Yc-Y, Xc-X)

但是你仍然会遗漏一件事：弧的相关部分是什么？小转弯还是大转弯？从Ta到Tb或从Tb到2 Pi再到Ta + 2 Pi，还是什么？答案远不如看似那么明显，尝试一下（因为三个角度Ta，Tb和Tc不确定为2 Pi的倍数，你无法对它们进行排序）！

提示：考虑三角形ABC区域的符号，恰好是系统决定因素的一半。它会告诉你B是否位于AC的左侧或右侧。

Answer 3

第1步

找到AB和BC的垂直平分线。

第2步

找到这些线相交的点。

您将找到的点是您想要的圆圈的中心。

第3步

计算从步骤2中找到的中心开始的三个点之一的距离。这将是您的圆的半径。

注意点A，B和C不得在同一行。在执行步骤1到3之前，您必须检查这一点。

Answer 4

对此的解决方案几乎与“非最适合非超定系统的圈子”相同。由于你的三个点正好位于以(0,0)（给定）为中心的圆弧上，因此系统可以精确求解而不需要最小二乘近似。

Finding the Center of a Circle Given 3 Points

Date: 05/25/2000 at 00:14:35
From: Alison Jaworski
Subject: finding the coordinates of the center of a circle

Hi,

Can you help me? If I have the x and y coordinates of 3 points - i.e. 
(x1,y1), (x2,y2) and (x3,y3) - how do I find the coordinates of the 
center of a circle on whose circumference the points lie?

Thank you.

Date: 05/25/2000 at 10:45:58
From: Doctor Rob
Subject: Re: finding the coordinates of the center of a circle

Thanks for writing to Ask Dr. Math, Alison.

Let (h,k) be the coordinates of the center of the circle, and r its 
radius. Then the equation of the circle is:

     (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Since the three points all lie on the circle, their coordinates will 
satisfy this equation. That gives you three equations:

     (x1-h)^2 + (y1-k)^2 = r^2
     (x2-h)^2 + (y2-k)^2 = r^2
     (x3-h)^2 + (y3-k)^2 = r^2

in the three unknowns h, k, and r. To solve these, subtract the first 
from the other two. That will eliminate r, h^2, and k^2 from the last 
two equations, leaving you with two simultaneous linear equations in 
the two unknowns h and k. Solve these, and you'll have the coordinates 
(h,k) of the center of the circle. Finally, set:

     r = sqrt[(x1-h)^2+(y1-k)^2]

and you'll have everything you need to know about the circle.

This can all be done symbolically, of course, but you'll get some 
pretty complicated expressions for h and k. The simplest forms of 
these involve determinants, if you know what they are:

         |x1^2+y1^2  y1  1|        |x1  x1^2+y1^2  1|
         |x2^2+y2^2  y2  1|        |x2  x2^2+y2^2  1|
         |x3^2+y3^2  y3  1|        |x3  x3^2+y3^2  1|
     h = ------------------,   k = ------------------
             |x1  y1  1|               |x1  y1  1|
           2*|x2  y2  1|             2*|x2  y2  1|
             |x3  y3  1|               |x3  y3  1|

Example: Suppose a circle passes through the points (4,1), (-3,7), and 
(5,-2). Then we know that:

     (h-4)^2 + (k-1)^2 = r^2
     (h+3)^2 + (k-7)^2 = r^2
     (h-5)^2 + (k+2)^2 = r^2

Subtracting the first from the other two, you get:

     (h+3)^2 - (h-4)^2 + (k-7)^2 - (k-1)^2 = 0
     (h-5)^2 - (h-4)^2 + (k+2)^2 - (k-1)^2 = 0

     h^2+6*h+9 - h^2+8*h-16 + k^2-14*k+49 - k^2+2*k-1 = 0
     h^2-10*h+25 - h^2+8*h-16 + k^2+4*k+4 - k^2+2*k-1 = 0

     14*h - 12*k + 41 = 0
     -2*h + 6*k + 12 = 0

     10*h + 65 = 0
     30*k + 125 = 0

     h = -13/2
     k = -25/6

Then

     r = sqrt[(4+13/2)^2 + (1+25/6)^2]
       = sqrt[4930]/6

Thus the equation of the circle is:

     (x+13/2)^2 + (y+25/6)^2 = 4930/36

- Doctor Rob, The Math Forum
  http://mathforum.org/dr.math/

<强>参考

查找给定三分的圆圈中心，访问2014-04-01，<http://mathforum.org/library/drmath/view/55239.html>

Answer 5

你有三个方程来确定三个未知数xM，yM和R，

(xA-xM)^2+(yA-yM^2) = R^2

等。从B和C方程中减去A方程得出

2*(xB-xA)*xM+2*(yB-yA)*yM = xB^2-xA^2+yB^2-yA^2
2*(xC-xA)*xM+2*(yC-yA)*yM = xC^2-xA^2+yC^2-yA^2

通过求解这个2x2线性系统，可以得到圆的中心点，插入任何原始方程给出半径。

Answer 6

有一个鲜为人知的结果，通过3个点给出一个圆的隐式方程：

|Z   X   Y   1|
|Za  Xa  Ya  1|
|Zb  Xb  Yb  1| = 0
|Zc  Xc  Yc  1|

我们为了简洁而定义了Z:= X^2 + Y^2。

计算3x3未成年人，我们发展成：

M00 Z + M10 X + M20 Y + M30 = 0

并且，在归一化之后，我们得到通常的二度方程：

X^2 + Y^2 + 2U X + 2V Y + W = 0

这可以改写为：

(X - U)^2 + (Y - V)^2 = U^2 + V^2 - W

立即给出中心(U, V) = (-M10/2.M00, -M20/2.M00)和半径R^2 = U^2 + V^2 - M30/M00。

找到弧的算法，其中心，半径和角度给出3个点

6 个答案: