找到不包含点

Question

我正在研究一个基本上减少到以下问题的问题：

假设：

• 一组(x,y)分。集合中可能有0个点。
• 最小值和最大值x以及y值，其中最小值始终为非负值。
• 半径r

确定是否可以在平面上的任何位置放置一个半径为r的圆，使圆圈在入界处，不包含任何点，如果是，则返回该位置。

允许交叉点 - 集合中的点可以与圆相交，但圆不能包含它们。圆可以切向接触最小和最大x和y值，但不能超出范围。

如果没有这样的位置，结果将是圆圈中心的(x,y)点，或者一些虚拟结果（即(-1,-1)）/失败。如果有多个有效的解决方案，则返回任何一个都没问题。

有关解决此类位置的算法的任何想法？我最终会在java中实现，但我可以使用psuedocode。

Answer 1

答案

如果n是点数，我将告诉案例n >= 2的解决方案。

你可以找到两个通过选定的2个点的圆圈。

如果圆圈在一个范围内并且它包含正好零点，则可以输出圆圈。

因此，您可以选择一对积分(p[i], p[j])并检查所有圈子。

如果您不知道获得两个圈子的解决方案，请阅读此内容。
Circle of given radius through two points

您可以这样实现：

for i = 0 to n-1
    for j = 0 to n-1
        if dist(p[i], p[j]) <= 2 * r
            circle c1, c2 = circle that goes through p[i] and p[j]
            bool f1 = true
            for k = 0 to n-1
                if p[k] is in c1 -> f1 = false
            if f1 is true -> return center of c1
            bool f2 = true
            for k = 0 to n-1
                if p[k] is in c2 -> f2 = false
            if f2 is true -> return center of c2

如果找不到，可以使用Monte Carlo Algorithm。
如果你无法在随机选择的数千个点中找到，我认为＆＃34;找不到＆＃34;没关系。

Answer 2

构建{point}的Delaunay triangulation。对于每个点，请执行以下步骤。

在您的点周围画一个半径为2r的圆。如果所有相邻点都在圆圈内，则此点不好，继续下一个点。

如果不是，请考虑具有此顶点的所有三角形。它们形成一些凸多边形。如有必要，将其修剪到您所在地区的边界（它仍然很复杂）。现在，您需要找到半径为r的圆，该圆位于此多边形内部且不包含当前点。这是一个简单的几何练习（绘制一个与每对相邻边相切的半径为r的圆;如果任何这样的圆不包含点集中的任何点，则完成）。

你可以用各种方式加速它（例如，如果任何三角形的外接圆完全在你的矩形内，并且半径是r或更大，你就完成了。）