列出由给定半径的圆圈包围的所有点集

Question

我的问题是：给定一个平面中的N个点和一个数字R，列出/枚举所有点的子集，其中每个子集中的点由半径为R的圆包围。两个子集应该是不同的并且不包括每个子集其他。

效率可能不重要，但算法不应太慢。

在特殊情况下，我们能找到分数最多的K个子集吗？可以接受近似算法。

谢谢，

编辑：似乎该声明并不清楚。我的错！

所以我重申我的问题如下：给定N个点和一个固定半径为R的圆，使用圆圈扫描整个空间。一次，圆圈将覆盖一部分点。目标是列出可由这种R半径圆覆盖的所有可能的点子集。一个子集不能是其他子集的超集。

Answer 1

我不确定我的意思是“未涵盖”＃39;如果你放弃它，你正在寻找的是一个Cech复合体，它的复杂性很高，你没有有效的算法，如果你没有采样条件（采样应该足够稀疏，R不要太大，否则你可能有2 ^ n个子集，n个点数）。您必须枚举所有子集并检查它们的最小封闭球半径是否低于R.您可以将搜索减少到直径小于R的所有子集（例如，成对距离低于R），这在您的情况下可能就足够了。

如果没有涵盖＆＃39;对于两个子集意味着一个不包含在另一个子集中，您可以有许多不同的分解。感兴趣的是alpha复合体，因为它可以在尺寸2-3中的O（nlogn）中有效地计算（我建议使用CGAL来计算它，你也可以看到它对图片的意义）。如果您的点数很高，那么您可能最终会计算出Cech复合体。

Answer 2

在不失一般性的情况下，我们可以假设所考虑的封闭圈至少通过了两个点（忽略了无点或一点的琐碎情况，并假设你的动机是最大化密度，所以你不在乎是否非最大子集被省略）。在输入点上构建邻近结构（kd树，覆盖树等）。对于每个输入点p，使用该结构查找所有点q，使得d（p，q）≤2R。对于每个点q，有一个或两个圆在其边界上包含p和q。通过求解一些二次方程找到它们的中心，然后查看q的其他选择以确定子集。