线性规划 - 等于表达式符号的变量

Question

我正在尝试编写一个线性程序，需要一个等于x-c符号的变量z，其中x是另一个变量，c是常量。

我考虑过z = (x-c)/|x-c|。不幸的是，如果x = c，则会创建除以0。

我不能使用z = x-c，因为我不想用x和c之间差异的大小来加权。

有没有人知道表达z的好方法，这是x-c的标志？

感谢您的任何帮助和建议！

Answer 1

您无法使用线性程序精确地建模z = sign(x-c)（因为LP中的约束仅限于变量的线性组合）。

但是，如果您愿意将线性程序转换为混合整数程序，则可以建模sign，您可以使用以下两个约束对其进行建模：

 L*b <= x - c <= U*(1-b)
 z = 1 - 2*b

其中b是二进制变量，L和U是数量x-c的下限和上限。如果b = 0，我们有0 <= x - c <= U和z = 1。如果b = 1，我们有L <= x - c <= 0和z = 1 - 2*1 = -1。

您可以使用Gurobi之类的求解器来解决混合整数程序。

Answer 2

对于k»1，这是符号函数的平滑近似值：

另外

当ε→0

时

这两个近似值没有除以0问题，但现在你必须调整一个参数。

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在某些语言（例如C ++ / C）中，您可以简单地编写如下内容：

double sgn(double x)
{
  return (x > 0.0) - (x < 0.0);
}

无论如何，请考虑许多环境/语言已经具有签名功能，例如

Mathematica中的
• Sign[x]
Matlab中的
• sign(x)
Java中的
• Math.signum(x)
Fortran的
• sign(1, x)
R 中的
• sign(x)

密切关注x等于0时会发生什么（例如Fortran函数将返回1，其他语言将返回0）。