Question

输入：

一组积分
坐标为非负integer类型。
整数k

输出：

点P（x，y）（在给定集合中或不在其中）与曼哈顿距离最近的点是最大值max(x, y) <= k

我的（天真）解决方案：

For every (x, y) in the grid which contain given set
    BFS to find closest  point to (x, y)
    ...
return maximum;

但我觉得它对于一个大网格运行速度很慢，请帮我设计一个更好的算法（或代码/伪代码）来解决这个问题。

我是否应该循环遍历网格中的每个(x, y)，只需循环每个中间值x, y

P.S：对不起我的英文

编辑：

示例： 的

给定P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3)。查找P(x,y) min {dist（P，P1），dist（P，P2）， dist（P，P3）}是最大的

Answer 1

是的，你可以做得更好。我不确定我的解决方案是否是最佳的，但它比你的更好。

而不是为网格中的每个点单独执行BFS。一次从所有输入点执行“累积”BFS。

从二维数组dist [k] [k]开始，单元格初始化为+ inf，如果此单元格的输入中有一个点，则为零，然后从输入的每个点P开始尝试进入每个可能的方向。你从起点开始越远，你在数组dist中放入的整数越大。如果某个特定单元格中存在dist值，但您可以使用较小的步长（较小的整数）来覆盖它。

最后，当不能再进行移动时，扫描数组dist以找到具有最大值的单元格。这是你的观点。

我认为这在实践中会很有效。

对于k = 3，假设1 <= x，y <= k，P1 =（1,1），P2 =（1,3），P3 =（2,2）

dist在开头是平等的

0，+ inf，+ inf，

+ inf，0，+ inf，

0，+ inf，+ inf，

下一步将是：

0,1，+ inf，

1,0,1，

0,1，+ inf，

在下一步中将是：

0,1,2，

1,0,1，

0,1,2，

所以输出是P =（3,1）或（3,3）

Answer 2

首先尝试

我们可以通过投影到线y = x和y = -x将2D问题转化为一维问题。如果点是（x1，y1）和（x2，y2）那么曼哈顿距离是abs（x1-x2）+ abs（y1-y2）。将坐标更改为u-v系统，基数为U =（1,1），V =（1，-1）。该基础中的两点的坐标是u1 =（x1-y1）/ sqrt（2），v1 =（x1 + y1），u2 =（x1-y1），v2 =（x1 + y1）。 manhatten距离是abs（u1-u2），abs（v1-v2）中最大的距离。

这有多大帮助。我们可以使用每个点的1D u值。按u值排序，循环通过点并找出点之间的最大差异。做同样的v值。

计算O（n）的u，v coords，快速排序为O（n log n），循环排序列表为O（n）。

唉效果不好。如果我们有点（-10,0），（10,0），（0，-10），（0,10），则失败。让我们尝试一下

Voronoi图

使用曼哈顿距离构建Voronoi diagram 。这可以使用https://en.wikipedia.org/wiki/Fortune%27s_algorithm以O（n log n）计算图中的顶点是距离其最近顶点最大距离的点。在维基百科页面上有算法的psudo代码。您可能需要根据曼哈顿距离进行调整。

Answer 3

如果K不够大并且你需要找到一个带整数坐标的点，你应该这样做，如另一个答案所示 - 使用BFS计算网格上所有点的最小距离，一次性从所有给定点开始。

更快的解决方案，对于大K，并且可能是唯一可以找到具有浮点坐标的点，如下所示。它具有O（n log n log k）

的复杂性

使用diichomy搜索最终距离。您必须检查方形[0，k] X [0，k]内是否有任何点，它至少与给定集合中的所有点保持距离。假设，你可以检查任何距离足够快。很明显，如果对于某个距离R存在这样的点，则对于所有较小距离r，总是存在一些点。 R.例如，同样的观点也会如此。因此，您可以使用二进制搜索过程搜索最大距离。

现在，如何快速检查是否存在（并且还找到）距离所有给定点至少r个单位的点。您应该在所有给定点周围绘制“半径为r的曼哈顿球”。这些是距离给定点最多r个单位的一组点。它们倾斜45度方形，对角线等于2r。现在将图片旋转45度，所有正方形将与轴平行。现在，您可以使用扫描线算法检查此类方块外是否存在任何点。您必须对方块的所有垂直边缘进行排序，然后从左到右逐个处理它们。左边框将向扫描线添加线段标记，左边框将删除它。你必须检查线上是否有任何非标记点。您可以使用分段树实现它。然后，你必须检查初始方形[0，k] X [0，k]内的线上是否有任何非标记点。

因此，再次，整体解决方案将是r的二进制搜索。在它内部你必须检查是否有任何点距离所有给定点至少r个单位。通过构建“半径r的manhattans球体”然后用从左上角到右下角的对角线扫描它们来做到这一点。移动线时，您应该在分段树中的线的每个点处存储打开的球体的数量。在任何球体的打开和关闭之间，线条不会改变，如果那里有任何自由点，则意味着你发现距离为r。

二进制搜索将log k归因于复杂性。每个检查过程都是n log n用于排序方块边界，n log k（n log n？）用于处理它们。

Voronoi图是另一种快速解决方案，也可以找到非整数答案。但即使对曼哈顿的措施也很难实施。

最小曼哈顿距离

3 个答案:

首先尝试

Voronoi图