最小曼哈顿距离的算法

Question

我希望找到距离一组点的曼哈顿距离/直线距离的最小总和的点（即该点与该组中每个点之间的直线距离之和应该最小）。结果点可以是给定集合中的一个点（不一定）。如果存在多个具有相同最小距离的点，我希望检索所有这些点。

其他词：

我有一个标有某些交叉点的​​网格。我想找到最接近所有标记交叉点的交叉点。也就是说，我需要找到一个点，使得距所有点的距离之和最小。

Answer 1

关于曼哈坦距离的一个很酷的事情是距离本身包含两个独立的部分：x和y坐标上的距离。因此，您可以解决两个更简单的任务并合并它们的结果，以获得所需的结果。

我所说的任务是：给出一条线上的点。找到最小化到所有点的绝对距离之和的线上的点。如果有很多人找到所有这些（顺便说一句，他们总是变成一个容易证明的单一部分）。该段由该组的（可能两个）点中位数确定。中位数是指与左侧和右侧具有相同点数的点。如果点的数量是奇数，则没有这样的点，并且您选择在两个方向上具有差异1的点以形成该段。

在这里，我添加了这个简单任务的解决方案示例：

如果线上的点是这样的：

-4 | | | 0 | 2 3 4
             ^

解决方案只是一个点，它是2。

如果线上的点是这样的：

-4 | | | 0 | 2 3
         ^---^

整个段[0,2]是问题的解决方案。

您可以分别为x和y坐标解决此任务，然后合并结果以获取最小距离点的矩形。

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示例

现在是初始任务解决方案的一个例子。

想象一下，你想要找到与集合(0, 6), (1, 3), (3, 5), (3, 3), (4, 7), (2, 4)

最小的曼哈顿距离的点

您构成了两个更简单的任务：

对于x：

0 1 2 3 3 4
    ^-^

此处的解决方案是细分[2, 3]（请注意，此处我们有重复的点3，我所代表的可能不是最直观的方式）。

对于y：

3 3 4 5 6 7
    ^-^

此处的解决方案是细分[4, 5]。

最后我们得到初始任务的解决方案是带有公式的矩形：

 2 <= x <= 3; 4 <= y <= 5 

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复杂性

由于很多人对这篇文章表现出兴趣，我决定将其改进一点。

让我们谈谈复杂性。

任务的复杂性实际上与解决简单任务的复杂性相同（因为已经讨论过，解决方案实际上包括解决两个更简单的任务）。许多人会通过排序然后选择中位数去解决它。但是，这会导致O(nlog n)复杂性，其中n是输入集中的点数。

如果使用更好的查找第k个元素的算法（C ++ STL中的Example实现），可以改进这一点。该算法基本上遵循与qsort相同的方法。运行时间为O(n)。即使在两个中间点的情况下，这仍然是线性的（需要两次运行相同的算法），因此算法的总复杂度变为O(n)。很明显，只要输入本身具有上述复杂性，任务就无法更快地解决。