为什么不能在有向图上使用Prim或Kruskal的算法？

Question

Prim和Kruskal的算法用于查找连接和无向图的最小生成树。为什么不能在指示的图表上使用它们？

Answer 1

这些算法首先起作用是一个小小的奇迹 - 大多数贪婪算法只会在某些情况下崩溃并烧毁。假设你想用它们来找到最小的跨越树枝（从一个顶点到所有其他顶点的有向路径），那么Kruskal的一个有问题的图就像这样。

 5
  --> a
 /   / ^
s   1| |2
 \   v /
  --> b
 3

我们采取成本为1的a-> b弧，然后卡住，因为我们真的想要成本3的s-＆gt; b和成本2的b-> a。

对于Prim，此图表存在问题。

 5
  --> a
 /   /
s   1|
 \   v
  --> b
 3

我们采用成本为3的s-> b，但我们真的想要成本为1的a-＆gt; a和成本为1的a-> b。

Answer 2

Prim和Kruskal的算法为连接和“无向”图输出最小生成树。如果它没有连接，我们可以调整它们以输出最小生成森林。

在Prim算法中，我们将图分成两组顶点。已经形成MST（Set1）的一组探索顶点和另一组未探测顶点将最终连接第一组以完成“跨越”（Set2）。在每个瞬间，我们选择加入两个不相交集的切割中的最小加权边。如果没有探测到的MST节点的有向边缘仍然未被探索，即使从未探测的节点到MST中探索的节点存在边缘，算法也会卡住。

在Kruskal的算法中，我们的想法是按重量按升序对边缘进行排序，然后将它们按顺序拾取并将它们包含在MST探索的节点/边缘中，如果它们已经形成了已经探索过的节点的循环。这是由Union-Find DS完成的。但是用这种方法检测有向图的循环失败了。例如：将报告包含边[1> 2] [2-> 3] [1-> 3]的图形包含具有Union-Find方法的循环。

所以Prim失败了，因为它假定，每个节点都可以从每个节点到达，虽然对于有向图而言对于无向图有效可能不正确。 Kruskal由于未能检测到周期而失败，有时必须添加边以使周期满足MST的“最小”加权属性。

此外，对于有向图，MST并不完全合理。对于有向图的等价物是“最小跨越树状”，它将产生一个树，其中每个顶点都可以从一个顶点到达。