我在编程竞赛（Andrew Stankevich Contest 21）中遇到类似游戏的问题时，我已经挣扎了一段时间：
尼克和彼得喜欢玩以下游戏[...]。他们 在一张纸上绘制一个无向二分图G，并将一个标记放在其顶点之一上。之后他们轮流行动。尼克先行动。
移动包括沿图形边缘移动令牌。之后是令牌所在的顶点 在移动之前，以及与其相关的所有边缘，将从图形中移除。拥有的玩家 没有有效的动作会失去游戏。
给出了图表，现在的任务是找到给定的起始节点，如果两个玩家都以最佳方式玩，则起始玩家是赢还是输。总结
由于图表是二分图，Nick（第一个玩家）将始终从左侧移除一个节点，Peter将始终从右侧移除一个节点。
图表最多可以有1000个节点（每边最多500个）和50000个边缘，因此需要一个很好的多项式时间算法（这里的时间限制是2秒来解决所有起始位置，但我认为我们可以在不同的起始位置之间分享大量信息。
我非常确定这可以减少到某种顶点覆盖或打包问题，因为图表是二分的，但我找不到与其中任何一个相关的策略。
我知道特殊情况的解决方案：让我们说方面有 n 1 和 n 2 顶点。如果matching的大小 min（n 1 ，n 2 ），如果较小的一方的玩家开始，比存在一个获胜策略：他必须遵循匹配的边缘并自动获胜。
有什么想法吗？
答案 0 :(得分：9)
命题。 Nick（第一个玩家）从顶点v开始获胜，如果此顶点属于给定图形的每个可能的最大匹配。我们将分两步证明这一点。
如果没有v存在最大匹配，则Nick会失败
实际上，由于匹配是最大的，因此没有来自v的扩充路径。这意味着来自v的每个简单的奇数路径都可以通过匹配的边缘延长。就我们的问题而言，这意味着每次尼克的行动后，彼得都可以继续比赛。
如果没有v没有最大匹配，Nick就会胜出
考虑任何可能的最大匹配。沿着此匹配的边缘从v移动到，例如u。现在，初始匹配减去边u-v是剩余图的最大匹配，不包括u。正如我们从第1步所知，现在移动的玩家（这是彼得）是亏本的。
对于实现，我们可以首先使用简单的算法（see here构建一个示例实现）在O（VE）中构建最大匹配 - 结果通用名称是Kuhn的扩充路径算法。
之后，保持最大匹配并查看每个顶点。如果顶点（比如说v）当前不在匹配中，那么Nick就输了。如果是，则从匹配中删除相应的边缘，例如v-u，暂时禁止顶点v，并在O（E）中搜索来自u的扩充路径。如果你没有找到这样的路径，尼克会赢，你必须恢复你删除的边缘。否则，尼克再次失败，新的最大匹配可以保持不变。总运行时间再次为O（VE）。
答案 1 :(得分：4)
可爱的问题。我相信预期的解决方案是计算最大匹配，然后确定哪些左顶点属于每个最大匹配。这是第一名球员的胜利。
获胜策略是选择属于最大匹配的边。如果起始顶点v属于每个最大匹配，则由玩家1选择的边e的另一个端点w不属于图的每个最大匹配减去v（因为v属于每个最大匹配，最大基数）删除后匹配减少一个，所以由于e属于某个最大匹配M，我们在新图中M-e最大，并且e的另一个端点不匹配）。相反，如果存在v不属于的最大匹配，则其所有邻居w都属于图的所有最大匹配减去v（否则，找到没有w的最大匹配并且将边从v添加到w，相矛盾当我们删除v）时，假设匹配的最大基数没有减少。