Question

我使用Freefem ++来解决泊松方程

Grad ^ 2 u（x，y，z）= - f（x，y，z）

当我有f的解析表达式时，它运行良好，但现在我有一个f数字定义（即在网格上定义的一组数据），我想知道我是否仍然可以使用Freefem ++。

即。典型代码（在这种情况下为2D问题），如下所示

mesh Sh= square(10,10); // mesh generation of a square
fespace Vh(Sh,P1); // space of P1 Finite Elements
Vh u,v; // u and v belongs to Vh

func f=cos(x)*y; // analytical function

problem Poisson(u,v)= // Definition of the problem
    int2d(Sh)(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)) // bilinear form
    -int2d(Sh)(f*v) // linear form
    +on(1,2,3,4,u=0); // Dirichlet Conditions
Poisson; // Solve Poisson Equation
plot(u); // Plot the result

我想知道我是否可以用数字来定义f，而不是分析。

Answer 1

网格＆amp;空间定义

我们定义一个Nx = 10 mesh且Ny = 10的正方形单位，这在x轴上提供了11个节点，在y轴上提供了相同的节点。

int Nx=10,Ny=10;
int Lx=1,Ly=1;
mesh Sh= square(Nx,Ny,[Lx*x,Ly*y]); //this is the same as square(10,10)
fespace Vh(Sh,P1); // a space of P1 Finite Elements to use for u definition

条件和问题陈述

我们不打算使用求解，但我们将处理矩阵（使用FreeFem解决更复杂的方法）。

首先我们为我们的问题定义CL（Dirichlet）。

varf CL(u,psi)=on(1,2,3,4,u=0); //you can eliminate border according to your problem state
    Vh u=0;u[]=CL(0,Vh);
    matrix GD=CL(Vh,Vh);

然后我们定义问题。我建议使用宏，而不是写dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)，所以我们将div定义为以下内容，但请注意// NOT ;的宏完成。

 macro div(u) (dx(u[0])+dy(u[1])) //

因此Poisson双线性形式变为：

varf Poisson(u,v)= int2d(Sh)(div(u)*div(v));

我们提取Stifness矩阵后

matrix K=Poisson(Vh,Vh);
matrix KD=K+GD; //we add CL defined above

我们继续解决，UMFPACK是FreeFem中的解算器，对此并不太关注。

set(KD,solver=UMFPACK);

这就是你需要的。您想在某些特定节点上定义函数f的值。我将给你秘密，泊松线性形式。

real[int] b=Poisson(0,Vh);

您可以在要执行的任何节点上定义函数f的值。

b[100]+=20; //for example at node 100 we want that f equals to 20
b[50]+=50; //and at node 50 , f equals to 50

我们解决了我们的系统。

u[]=KD^-1*b;

最后我们得到了情节。

plot(u,wait=1);

我希望这对你有所帮助，感谢我的实习主管Olivier，他总是特意在FreeFem上给我一些技巧。我测试过，效果很好。祝你好运。

Answer 2

afaf 的方法适用于函数f是独立函数的情况。对于像int2d(Sh)(f*u*v)这样的术语，需要另一种解决方案。我建议（实际上我在Hecht的手册中将它改为红色）一种涵盖两种情况的方法。但是，它仅适用于P1有限元，其自由度与网格节点重合。

fespace Vh(Th,P1);
Vh f;

real[int] pot(Vh.ndof);

for(int i=0;i<Vh.ndof;i++){
    pot[i]=something;   //assign values or read them from a file 
}

f[]=pot;

Freefem ++：用数值函数求解泊松方程

2 个答案: