在RSA加密算法中查找p和q

Question

在RSA加密算法中知道p，q和e时，如何查找d和n的因素。我试图搜索但找不到任何来源。任何提示，参考或解决方案都足够了。

（e,n)和(d,n)分别是公钥和私钥，n = pq。

Answer 1

我找到了一个source written in german (page 12+13)，它描述了一个用于计算p和q的随机算法。

算法：

1. 计算s = max { t : 2t | (ed-1) }和k = (ed-1) / (2s)
2. 在a
中选择一个随机数[2,n-1]
3. compute g = gcd(a,n)
4. 如果g > 1 ⇒ g = p和q = n/g。
   否则为t = s-1, ... ,0做：
   1. g = gcd( ak ⋅ 2t, n )
   2. 如果g < n ⇒ g = p和q = n/g。
      否则请在a中选择一个新的随机数[2,n-1]，然后转到3.

如果您选择a作为随机数（均匀分布），则查找p和q的概率为1/2，因此预计会获得解决方案2次尝试。

此作品的证明与chinese remainder theorem有关。

备注：如果您已经拥有私钥，则很可能没有理由计算n的因素，因为相同的{永远不应该有多对密钥(e,d) {1}}。但是你可以使用这个算法来证明破坏RSA和分解n一样困难。 （RSA并不比分解更难，因为如果你有n和d，你可以简单地计算私钥p。