Question

我想解决其中二次项的递归关系。

例如.. T(n)= T(n-1)^2 + T(n-1) + 2是一个递归关系，我必须打印其总和模块100000.

如果不使用简单的强力方法，我该怎么做？

Answer 1

取决于n的大小（例如，大约10,000,000），您可能会在一小段时间（例如大约一秒钟）内运行一个简单的for循环。

我无法判断您是否可以找到通用T(1)和/或通用递归的数学公式，但我的猜测是您不能。不过，我可以告诉你一个可以帮助你解决问题的数学属性。它被称为congruence。简而言之，这就是语法：

a =(15)= b

表示15分为b - a。实际的数学符号是=，有三行，数字写在它上面，但我不能真正输入它！

现在这里有几个对你有用的定理：

1

a =(n)= b  \
            > => a =(n)= c
b =(n)= c  /

2

a =(n)= b  =>  a+c =(n)= b+c

3

a =(n)= b  =>  a*c =(n)= b*c

4

a =(n)= b  =>  a^2 =(n)= b^2

通过将a和b写为：

，可以轻松证明这些问题

a = k1*n+r
b = k2*n+r

并应用转换并确保最后b - a仍可被n整除。

那就是说，你的算法如下（假设你想要T1到TN mod M之和）：

T = 3        /* initial T1 */
TSum = T     /* initial sum */

for i=1 to N
    T = (T^2 % M + T + 2) % M
    TSum = (TSum + T) % M

这里要注意的重要一点是，T和TSum总是由M限定，最大中间结果来自表达式T^2（对于非平凡的M s），最多可以(M-1)^2。

因此，在您的实现中，您实际上不需要处理非常大的数字，而只需要使用足以容纳(M-1)^2的数据类型。在C中，uint64_t会这样做。请注意，对于M=100000，(M-1)^2不适合32位整数。

顺便说一下，这个算法是O(N)，所以除非N非常大或除非它在一个非常频繁的循环中，否则它应该足够快以满足您的日常需求！

修改

问题实际上可以在O(M)而不是O(N)中解决。这是因为所有T(i)都在[0, M-1)范围内，因此计算到T(M+1)，您肯定会回头。由于T(n)完全取决于T(n-1)，因此获取T(n-1)的重复值将导致与第一次相同的值链。

因此，让我们展开T和TSum，以便更好地了解这是如何被利用的。假设T生成值A，B，...，Z，在Z之后，它会循环回K并在一对夫妇之后它在P完成的周期（因为我们达到了N）：

T A B C D E ... K ... Z K ... Z K ... Z ... K ... P TSum AS BS CS DS ES ... KS ... ZS KS2 ... ZS2 KS3 ... ZS3 ... KSt ... PSt

所以你的目标是计算PSt。我们的想法是计算最多KS2，将其与KS区分开来，将其乘以t并将其添加到KS以获得KSt。然后添加剩余部分以获取PSt。

算法如下：

Sums=[M times 0] /* initially, no sum is calculated */ Indices=[M times 0] /* Indices[i] = I means Sums[i] corresponds to T(1)+...+T(I) */ T = 3 /* initial T1 */ TSum = T /* initial sum */ Sums[T] = TSum Indices[T] = 1 for i=2 to N T = (T^2 % M + T + 2) % M if Sums[T] != 0 /* a loop is detected */ break TSum = (TSum + T) % M Sums[T] = TSum Indices[T] = i if i == N return TSum /* compute how many cycles */ cycle_length = i - Indices[T] t = (N - Indices[T]) / cycle_length /* add sum of the cycles immediately */ TSum = (Sums[T] + t * (TSum - Sums[T])) % M /* add what is left */ for i=Indices[T] + t * cycle_length+1 to N T = (T^2 % M + T + 2) % M TSum = (TSum + T) % M

注意：索引计算中可能存在逐个错误。如果您打算使用此算法，请仔细检查以确保它不会遗漏任何T(i)或将其加总两次。

Answer 2

这是一种更加数学化的方法来解决递归方程，例如使用z变换或生成函数。对所讨论的方程进行z变换，然后找到f（z）生成多项式用于递推，并采用逆z变换得到闭合空间函数。

<强>步骤：

Z - 转换 T（n）
根据 z 查找 F（z）， z 是您重现的生成多项式。
取反向（F（z））以获得重现的封闭式方程式。
获取封闭表格后，您可以直接从 n

T（n）

您可以进一步找到结算的封闭表格。

Answer 3

这实际上更像是一个数学问题，但无论如何，这里有一些你应该考虑的事情：

如果您只对总和100,000 100,000感兴趣，则可以执行所有计算模式100,000。（如果你不知道为什么这是真的，不要尝试在作业答案中使用它。但那当然是一个数学问题。）
你有一阶递归方程（你的标题是错的，顺便说一下），真的应该不是通过递归来实现它，而是迭代地实现它。

粗糙的伪代码（希望你能从中吸取教训，不只是把它作为功课，但是再一次，你唯一受伤的就是你自己）：

value = 3 // T(1)
sum = value
N.times do
  value = (value^2 + value + 2) % 100000
  sum = (sum + value) % 100000
end

对于更加面向数学的答案，您还可以考虑如何获得和S（n）的递归公式，然后为此计算闭合形式的解。

什么是解决二阶问题递归关系的有效算法？

3 个答案: