R - 重要性采样来解决积分

Question

我已经提到这些链接 - here和here。后一个链接是我的一个问题，但结果并不完全正确。

因此，我正在创建一个问题，尝试回答它的新尝试。

• 我有以下积分

             (x^-0.5)                                   ;in x=[0.01,1]
  

  要使用重要性采样MC集成解决此问题，需要选择与功能图

大致相同的重要性pdf

我的R代码解决了同样的问题：

#function 1 - importance sampling
w <- function(x) dunif(x,0.01,1)/dbeta(x,0.7,1)
f <- function(x) x^(-0.5)
X <- rbeta(1000,0.7,1)
Y <- w(X)*f(X)
c(mean(Y),var(Y))

真正的积分值 - 1.8

使用上面的重要性采样代码 - 1.82（我的重要性PDF是 Beta（0.7,1）

这很好，所以我假设代码是正确的。

• 现在我有了这个整体

  [1+sinh(2x)ln(x)]^-1 ;in x=[0.8,3]

我的代码是：

#function 2 
w <- function(x) dunif(x,0.01,1)/dnorm(x,0.5,0.25)
f <- function(x) (1+sinh(2*x)*log(x))^(-1)
X <- rnorm(1000,0.5,0.25)
Y <- w(X)*f(X)
Y <- Y[!is.na(Y)]
c(mean(Y),var(Y))

真积分值 ~0.601

执行上述代码的价值 ~3.25（我的重要性PDF 正常（0.5，sd = 0.25）

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我做错了什么？

1）将函数评估为f（x）。

2）从重要性PDF g（x）生成在间隔之间截断的样本。

3）得到平均值（f（x）/ g（x）），这是积分。

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EDITS

根据Nishanth的建议，代码中的更改如下：

 set.seed(19)
 w <- function(x) dunif(x,0.8,3)/dnorm(x,0.8,1.49)
 f <- function(x) (1+sinh(2*x)*log(x))^(-1)
 X <- rnorm(1000,0.8,1.49)
 X <- X[X > 0.8 & X < 3]
 Y <- w(X)*f(X)
 c(mean(Y),var(Y))

然而，即使估计接近实际值，也不会发生方差减少（与强力MC和分层抽样相比）

此外，如果有人想验证重要性PDF的选择，则上传要集成的功能的图。

Answer 1

重量函数的选择在重要性抽样中起着至关重要的作用。为了获得更快的收敛，必须调整参数 - 当不存在适当的反函数时，这主要是临时的。我会对您的代码进行以下更改：

> w <- function(x) dunif(x,0.3,8)/dnorm(x,0.3,0.4)
> f <- function(x) (1+sinh(2*x)*log(x))^(-1)
> X <- rnorm(1000,0.3,0.4)
> X <- X[X > 0.3 & X < 8]
> Y <- w(X)*f(X)
> c(mean(Y),var(Y))
[1] 0.703766099 0.005848816