R多重积分

Question

我有四个这样的积分：

要计算此功能，我的R代码如下：

tol <- 1e-05
t.cutoff = 1e-15

integrand <- function(kappa, sigma, eta, tau) sqrt((tau-eta)/(sigma-kappa))*exp(-(sigma-kappa))

integrate1 <- function(sigma, eta, tau) integrate(integrand, tol * sigma, (1 - tol) * sigma, sigma = sigma, eta = eta, tau = tau)$value
integrate1.vec <- function(sigma, eta, tau) mapply(integrate1, sigma, eta, tau)

integrate2 <- function(eta, tau) integrate(integrate1.vec, tol * eta, (1 - tol) * eta, eta = eta, tau = tau)$value
integrate2.vec <- function(eta, tau) mapply(integrate2, eta, tau)

integrate3 <- function(tau) integrate(integrate2.vec, tol * tau, (1 - tol) * tau, tau = tau)$value
integrate3.vec <- function(tau) mapply(integrate3, tau)


c_t <- function(t) ifelse(t > t.cutoff, integrate(integrate3.vec, tol * t, (1 - tol) * t)$value, 0)

c_t(1)

我认为上面的代码效率很低;我想知道这种积分是否有任何改进或可用的包装。提前谢谢！

Answer 1

可以通过将cumsum应用于单纯形来获得此集成域。因此，您可以使用SimplicialCubature包。

library(SimplicialCubature)
integrand <- function(y){
  x <- cumsum(y)
  sqrt((x[4]-x[3])/(x[2]-x[1]))*exp(-(x[2]-x[1]))
}
t <- 1
S <- t*CanonicalSimplex(4)
adaptIntegrateSimplex(integrand, S, maxEvals = 100000L, absError = 1e-4)

结果：

> adaptIntegrateSimplex(integrand, S, maxEvals = 100000L, absError = 1e-4)
$integral
[1] 0.05961484

$estAbsError
[1] 9.991182e-05

我已经使用Mathematica进行了检查，它提供了0.0596353。

我们通过减少absError来接近此结果，但这需要增加maxEvals：

> adaptIntegrateSimplex(integrand, S, maxEvals = 1000000L, absError = 1e-5)
$integral
[1] 0.05963446

$estAbsError
[1] 9.993167e-06