不同大小的代理和任务集之间的最佳匹配

Question

问题：

  

我有一组大小为A的代理a，一组大小为T的任务t   和利润函数p(agent, task)。每个代理人只能是   分配了一个任务，每个任务只能由一个代理处理。

     

我需要找到一组（代理，任务）对的总利润   是最大的。

我已经开始使用一种天真的解决方案，以递归方式找到具有最高利润的（代理，任务）对。结果证明是不理想的。然后我尝试了更大集合的所有排列 - 程序从未完成。 ：）

我认为这是某种assignment problem但我到目前为止只找到了线性分配问题的解决方案，其中代理和任务的数量是相等的。

您能指出一个有效的算法来解决这个问题，或者为这个问题提出建议吗？

Answer 1

很多延迟，但你的解决方案终于来了！虽然DasKrumelmonster部分正确，但您尝试解决线性分配问题，但您正在尝试解决二分图。

看看这个名为Bipartite Solver的GitHub存储库。它不仅为您提供了另一个答案中建议的 Jonker-Volgenant 算法的java实现，还有4种算法可供选择。

第一个是贪心搜索，这正是您刚才提到的 - 它迭代地找到了最佳匹配。虽然它可能提供次优解决方案，但大多数时候它接近最优。这是最快的一群。

第二个是暴力搜索。就像你提到的那样，程序需要花费很多时间才能完成9x9映射，但对于小数字，这是足够的，也是最佳的。

第三种是蛮力的变种，但是使用 alpha-beta树修剪。你的平均速度提高了约20％，但是超过13x13，你的内存耗尽。

第四个是 LAPJV ，这是最佳和疯狂的快速。我的意思是 2000x2000 in 1s 快！这是你应该去的，放下手。

如果您希望在不从源代码构建算法的情况下尝试算法，那么库中会有大量executables。

这个库看起来就像你要求的那样，只有一年太晚了。我想，迟到总比没有好。

Answer 2

这个问题被称为“线性分配问题”。

虽然通常用两组具有相同数量的元素来描述，但这不是必需的。您可以将矩阵填充为二次矩阵。此外，如果没有必要完全分配较大的集合，您可能需要进一步填充矩阵（=每个维度加倍）。

我做了类似的事情，但这是一个成本矩阵（即虚拟元素具有高值）这是原始矩阵K：

不是二次的。然后用虚拟值填充：

这样我们就可以执行munkres算法了。但是，此矩阵表示（1,2,3,4）的每个元素都将分配，即使该分配的成本非常高。 （在这种情况下，元素4的成本很高，并且会获取虚拟行。但是如果元素3具有相似的成本，那么我最终会得到一个不好的匹配）

因此，矩阵进一步填充：

在您的情况下可能不需要最后一步。如果利润不能变为负数，那么任何匹配都会好于没有，对吗？

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我切换到 Jonker-Volgenant算法，它在更短的时间内解决了同样的问题。 （虽然在某些情况下可能不会产生完全相同的结果） 我是从MATLAB FileExchange获得的，显然是基于this paper。