Question

我如何获得GCD（2 ^ a [i] -1,2 ^ a [j] -1） 1 <= a [x] <= 100

from fractions import gcd
powj=pow(2,n[j])-1
powk=pow(2,n[k])-1
gcdjk=gcd(powj,powk)

会导致大数字出现问题并产生运行时错误我看不到2 ^ i-1值中的模式，除了没有除1以外的其他因素的素数。

i  2^i -1
--------------
1  1 = 1
2  3 = 1,3
3  7 = 1,7
4  15 = 1,3,5,15
5  31 = 1,31
6  63 = 1,3,7,9,21,63
7  127= 1,127
8  255= 1,3,5,15,17,51,85,255

编辑：仅需要为表格2 ^ i-1的数字解决此问题。以下是代码：

import sys
import math
from fractions import gcd

t=int(input())
for i in range(0,t):
    door=0
    c=int(input())
    n = map(int,sys.stdin.readline().split(' '))
    for j in range(0,c-1):
        for k in range(j+1,c):
            if( gcd(n[j],n[k]) == n[k]):
                powj=pow(2,n[j])-1
                powk=pow(2,n[k])-1
                gcdjk=gcd(powj,powk)
                if(gcdjk==powk):
                    door = door+1
                else:
                    door = door-gcdjk
    print (door)

输入样本：

约束：

1<=T<=20
1<=ArraySize<=10^5
1<=a[i]<=100

Answer 1

考虑binary GCD algorithm。如果两个操作数的形式为2 ⁱ -1，则可以大大简化。

首先，第一步显然没有零，所以你直接进入循环。

在循环中，在减法中，您有两个数字，形式为2 ⁱ -1，左侧比右侧大，因此减法只是重置y中的低位位数与x中设置的位数一样多，即减法等效于y &= ~x。减法之后立即将y向右移动其中的尾随零的数量，因此您再次使用2 ⁱ -1的形式，但popcnt(x)更短

从这一点可以看出，只有长度（即指数）才有意义，而且身份是 gcd（2 ^a -1,2 ^b -1）= 2 ^{gcd（a，b）} -1来自它。

Answer 2

这些数字非常小。使用Python内置的bignum处理，它们完全在Euclidean算法fractions.gcd使用的范围内：

>>> fractions.gcd(2**50-1, 2**100-1)
1125899906842623L

您的错误来自其他地方。当您尝试迭代10000个元素列表中的所有数字对时，您甚至可能只是超时。有近5000万这样的对。根据您获得的时间长短，您的算法可能过于缓慢。

Answer 3

这是一种简单的方法，你可以使用euclid算法来解决2的幂而不实际评估它们： -

我们需要找到一个％b来解决使用欧几里德算法的GCD： -

a = 2 ^ x-1 b = 2 ^ y-1

和a＆gt; b

我们需要表达a = k * b + m，其中m
假设k = 2 ^（x-y）

2 ^ x - 1 = 2 ^（x-y）*（2 ^ y-1）+ m，m = 2 ^（x-y）-1

因此

a％b = m = 2 ^（x-y）-1

因此m再次具有两个减1形式的相似幂，因此我们可以   在其上应用欧几里德算法。

进一步分析：

a = 2^x-1
b = 2^y-1 

GCD(a,b) = F(x,y)

where 

F(x,y) = x         if x==y
F(x,y) = F(x-y,y)  if x > y
F(x,y) = F(x,y-x)  if y < x

From further analysis F(x,y) = GCD(x,y)

参考： - GCD

形式为2 ^ i-1的数字的GCD

3 个答案: