Question

在TopCoder - SRM 577中提出了这个问题。给定1 <= a < b <= 1000000，a和b之间插入的最小数量是多少？ a = 2184使得没有两个连续的数字将共享大于1的正数除数。

示例：

b = 2200; 2195。我们需要插入2个数字2199＆amp; a = 7使条件成立。（2184，的 2195,2199 下，2200）
b= 42; a = 17。一个数字足以插入它们之间。数字可以 11 。
b = 42; a。 GCD已经是1，因此无需插入任何数字。

现在，有趣的是，对于给定范围 [1,1000000] ，我们永远不需要在b和a+1之间插入超过2个元素。更重要的是，这两个数字被推测为b-1和[1,10^18]，但尚未得到证实。

有人可以证明这一点吗？
它可以扩展到更大范围的数字吗？说，{{1}}等

Answer 1

对不起，对不起。我的反例是

a=3199611856032532876288673657174760
b=3199611856032532876288673657174860

（如果这个愚蠢的网站允许每个人编辑其帖子会很好）

Answer 2

每个号码都有一些因子分解。如果a，b每个都有一些不同的素因子（ DPF ），并且它们之间的距离很大，那么肯定有它们之间至少有一个数字，其中 DPF 的集合与两者没有共同点。因此，这将是我们的一个号码选择n，例如gcd(a,n) == 1和gcd(n,b) == 1。我们走得越高，可能的素数因素越多，偶数gcd(a,b)==1的概率越高越高，一个中间数解决方案也是如此。< / p>

什么时候不能使用one-num解决方案？当a和b 高度复合时 - 每个都有很多 DPF - 并且彼此之间的距离不是很远，所以每个中间数与其中一个或两个具有一些共同的主要因素。但对于任何gcd(n,n+1)==1， n ，总是;因此，选择a+1或b-1中的一个 - 特别是 DPF 的最小量 - 将减少组合 DPF 设置的大小，并且所以在它们之间选择一个数字是可能的。（...这远非严格）。

这不是一个完整的答案，更像是一个插图。我们来试试吧。

-- find a number between the two, that fulfills the condition
gg a b = let fs=union (fc a) (fc b) 
         in filter (\n-> null $ intersect fs $ fc n) [a..b]

fc = factorize

试一试：

Main> gg 5 43
[6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24,26,27,28,29,31,32,33,34,36,37,38,39
,41,42]

Main> gg 2184 2300
[2189,2201,2203,2207,2209,2213,2221,2227,2237,2239,2243,2251,2257,2263,2267,2269
,2273,2279,2281,2287,2291,2293,2297,2299]

只需一个号码就可以在5到43之间，或者在2184到2300之间选择。但是对于给定的对，2184和2200呢？

Main> gg 2184 2200
[]

他们之间不存在任何一个号码。但显然，gcd (n,n+1) === 1：

Main> gg 2185 2200
[2187,2191,2193,2197,2199]
Main> gg 2184 2199
[2185,2189,2195]

因此选择了一个相邻的数字，我们确实有足够的可能性来获得第二个数字。你的问题是，证明情况总是如此。

让我们看看他们的因素：

Main> mapM_ (print.(id&&&factorize)) [2184..2200]
(2184,[2,2,2,3,7,13])
(2185,[5,19,23])
(2186,[2,1093])
(2187,[3,3,3,3,3,3,3])
(2188,[2,2,547])
(2189,[11,199])
(2190,[2,3,5,73])
(2191,[7,313])
(2192,[2,2,2,2,137])
(2193,[3,17,43])
(2194,[2,1097])
(2195,[5,439])
(2196,[2,2,3,3,61])
(2197,[13,13,13])
(2198,[2,7,157])
(2199,[3,733])
(2200,[2,2,2,5,5,11])

很明显，范围越大，越容易满足条件，因为贡献的素因子的种类越多。

(a+1)并不总是独立工作 - 考虑2185, 2200案例（类似地，对于2184,2199，(b-1)将不起作用。

因此，如果我们碰巧将两个高度复合数字作为我们的a和b，那么选择一个相邻的数字将有所帮助，因为通常它只有几个因素。

Answer 3

这个答案解决了问题的一部分，该部分要求证明{a，a + 1，b-1，b}的子集将始终有效。问题是：“更多的是，这两个数字被推测为+ 1和b-1，尽管尚未得到证实。谁能证明这一点？“这个答案表明不存在这样的证据。

一个证明{a，a + 1，b-1，b}的子集始终有效的例子是{105,106,370,371} = {3·5·7,2,53,2· 5·37,7·53}。设（x，y）表示gcd（x，y）。对于这个例子，（a，b）= 7，（a，b-1）= 5，（a + 1，b-1）= 2，（a + 1，b）= 53，所以所有集合{ A，b}; {a，a + 1，b}; {A，B-1，B};并且{a，a + 1，b-1，b}失败。

此示例是以下推理的结果：我们希望找到a，b，使{a，a + 1，b-1，b}的每个子集都失败。具体地说，我们需要以下四个gcd大于1：（a，b），（a，b-1），（a + 1，b-1），（a + 1，b）。我们可以通过找到一些e，f来划分偶数a + 1然后构造b使得奇数b可被f和a的某个因子整除，而偶数b-1可被e整除。在这种情况下，e = 2和f = 53（因为任意取a = 3·5·7，因此a有几个小的奇素因子）。

Answer 4

a=3199611856032532876288673657174860
b=3199611856032532876288673657174960

似乎是一个反例。

要插入[a，b]中的最小数量，使得2个连续数字的GCD为1

4 个答案: