Question

我正在编写一个程序，试图找到k> 1的最小值，以使a和b（均已给出）的第k个根等于整数。

这是我的代码的片段，我已对其进行注释以供澄清。

int main()
{
    // Declare the variables a and b.
    double a;
    double b;
    // Read in variables a and b.
    while (cin >> a >> b) {

        int k = 2;

        // We require the kth root of a and b to both be whole numbers.
        // "while a^{1/k} and b^{1/k} are not both whole numbers..."
        while ((fmod(pow(a, 1.0/k), 1) != 1.0) || (fmod(pow(b, 1.0/k), 1) != 0)) {

        k++;

        }

几乎，我读了（a，b），我从k = 2开始，递增k直到a和b的第k个根都与0 mod 1一致（这意味着它们可以被1整除，因此整数）。

但是，循环无限运行。我已经尝试过研究，但我认为这可能与精度误差有关。但是，我不太确定。

我尝试过的另一种方法是更改循环条件，以检查a ^ {1 / k}的底限是否等于a ^ {1 / k}本身。但这又是无限运行的，可能是由于精度误差造成的。

有人知道我该如何解决这个问题？

编辑：例如，当（a，b）=（216，125）时，我想让k = 3，因为216 ^（1/3）和125 ^（1/3）都是整数（即， 5和6）。

Answer 1

那不是编程问题，而是数学问题：

如果a是实数，而k是正整数，并且如果a^(1./k)是整数，则a是整数。（否则，目的是使玩具具有近似误差）

因此最快的方法可能是首先检查a和b是否为整数，然后执行prime decomposition使得a = p ₀ ^{e ₀} * p ₁ ^{e ₁} * ...，其中p _我是不同的素数。

请注意，对于a ^{1 / k}为整数，每个e _i也必须可被k整除。换句话说，k必须是e _i的公约数。如果b ^{1 / k}为整数，则b的质数必须相同。

因此，最大的k是a和b的所有e _i中的greatest common divisor。

使用您的方法，您将遇到大量问题。所有IIEEE 754 binary64浮点（x86上为double的情况）都有53个有效位。这意味着所有大于2 ⁵³的double都是整数。

函数pow(x,1./k)将为两个不同的x产生相同的值，因此使用您的方法时，您将必须得到错误的答案，例如数字5 ⁵ * 2 ⁹⁰和3 ⁵ * 2 ¹²⁰可以用double精确表示。该算法的结果为k=5。您可能会发现带有这些数字的k值，但您还会发现{<1up} 5 * 2 ⁹⁰ -2 ^49的k=5和3 ⁵ * 2 ¹²⁰，因为pow（5 ⁵ * 2 ⁹⁰ -2 < sup> 49 ，1。/ 5）== pow（5 ⁵ * 2 ⁹⁰）。演示here

另一方面，由于只有53个有效位，因此double的质数分解是微不足道的。

Answer 2

浮点数不是数学实数。计算是“近似的”。参见http://floating-point-gui.de/

您可以用StartScreenPage之类的东西代替测试fmod(pow(a, 1.0/k), 1) != 1.0（并使用各种类似的代替fabs(fmod(pow(a, 1.0/k), 1) - 1.0) > 0.0000001；也请参见std::numeric_limits::epsilon，但请谨慎使用，因为{{ 1}}可能会在计算中出现一些错误，并且0.0000001还会带来不精确的信息-细节非常复杂，请深入了解IEEE754规范）。

当然，您可以（并且应该应该）定义您的pow函数（并使用它代替1.0/k，并使用其否定词代替bool almost_equal(double x, double y)）。

根据经验，切勿测试浮点数是否相等（即==），而应考虑它们之间的足够小的距离；也就是说，将!=（分别为==）之类的测试替换为x == y（分别为x != y），其中fabs(x-y) < EPSILON是一个小的正数，因此进行测试L₁ distance较小（用于平等，而对于不平等则有足够大的距离）。

并避免在整数问题中出现浮点数。

实际上，预测或估计浮点精度非常困难。您可能需要考虑使用CADNA之类的工具。我的同事FranckVédrine是静态程序分析器的专家，可以估计数值误差（例如，参见他的TERATEC 2017 presentation on Fluctuat）。这是一个困难的研究主题，另请参见D.Monniaux的论文the pitfalls of verifying floating-point computations等。

浮点错误did in some cases导致人员伤亡（或数十亿美元的损失）。在网上搜索详细信息。在某些情况下，计算出的数字的所有数字是错误的（因为错误可能会累积，并且最终结果是通过组合数千个运算获得的）！与chaos theory之间存在间接关系，因为许多程序可能都有一些numerical instability。

Answer 3

正如其他人所提到的，比较浮点值是否相等是有问题的。如果找到直接使用整数的方法，则可以避免此问题。一种方法是将整数提高到k的幂，而不是取第k的根。这些细节留给读者练习。

给定（a，b）计算k的最大值，使得a ^ {1 / k}和b ^ {1 / k}是整数

3 个答案: