如何将sympy衍生物与numpy数组表达式结合起来？

Question

我希望我能清楚地表达我的问题。

我正在使用scipy.optimize.minimize来查找某些实验数据的最大似然估计值。数据是2d（NxN）所以在我的笔记中，对数似然函数（我需要最大化的函数）看起来像这样：

所以是一个二维数组，取决于我的特定模型，而n _ij 是测量的二维数据。在代码中，我以这种方式编写了相同的函数：

def logll(params, *args):

    A, x0, y0, bkg = params
    pico, F = args

    x, y = np.arange(pico.shape[0]), np.arange(pico.shape[1])

    erfi = erf((x + 1 - x0) / F) - erf((x - x0) / F)
    erfj = erf((y + 1 - y0) / F) - erf((y - y0) / F)

    lambda_p = A * F**2 * np.pi * erfi[:, np.newaxis] * erfj / 4 + bkg

    return - np.sum(pico * np.log(lambda_p) - lambda_p)

这里需要注意的重要一点是，我的数据是二维数组的一部分，因此产品erfi * erfj和bkg是NxN数组。我知道编码的唯一方法就是如上所述，即将erfi和erfj写为1d数组并将它们相乘为erfi[:, np.newaxis] * erfj以获得正确的数组。

这一切都运转得很好，我可以通过调用

找到我的估算器

minimize(logll, x0=[A, x0, y0, bkg], args=(peak, F), method='Powell')

无论如何，这个鲍威尔方法还不够快，所以我想使用像Newton-CG那样的速度更快的方法。缺点是它需要jacobian和hessian，为此我必须根据我的4个参数区分logll。我不想手工完成，所以我尝试了sympy。我不得不从我的表达式中取出[:, np.newaxis]部分，但其他部分则表明衍生产品很好。

jacobian ll_jac是1d数组，包含logll相对于四个拟合参数的导数。我获得了将A，x0，y0，bkg，x和y定义为sympy的符号，然后进行区分这样：

logll.diff(A)
logll.diff(x0)
logll.diff(y0)
logll.diff(bkg)

粗体ll_hess是二维数组，包含关于四个参数的logll的二阶导数，我通过这样做得到它

logll.diff(A, A)
logll.diff(A, x0)

等等。在进行任何区分之前，我必须从[:, np.newaxis]表达式中取消logll部分才能使sympy起作用。

所以，最后，随着雅各比和粗麻布的到来，我尝试了

minimize(logll, x0=[A, x0, y0, bkg], args=(peak, F), 
         method='Newton-CG', jac=ll_jac, hess=ll_hess)

我收到以下错误：

File "/usr/lib/python2.7/site-packages/scipy/optimize/_minimize.py", line 351, in minimize
**options)

File "/usr/lib/python2.7/site-packages/scipy/optimize/optimize.py", line 1365, in _minimize_newtoncg
update = alphak * pk

TypeError: unsupported operand type(s) for *: 'NoneType' and 'float'

我怀疑erfi和erfj是1d-arrays而bkg是2d-array这一事实。

所以我的问题如下：我如何写下表达式，以便numpy和sympy不会发生冲突？是否有更好的方法来编写产品erfi * erfj并仍然获得我想要的2d数组？