R中的函数积分

Question

我想获得函数f1的积分，如何在R中解决以下问题？

      f = function(x)dbeta(x, .5, .5)
      >  integrate(function(x) f(x), lower = 0, upper = 1)
      1 with absolute error < 3e-06

      f1 = function(x)dbeta(x, .5, .5)^2
      >  integrate(function(x) f1(x), lower = 0, upper = 1)
      Error in integrate(function(x) f1(x), lower = 0, upper = 1) : 
      maximum number of subdivisions reached

Answer 1

第一个积分收敛于1，即使被积函数在极限处逼近∞。第二个积分不会收敛。方便的是，我们可以通过分析和数字来证明这一点。

  

I =∫x ^-1 （1-x） ^-1 dx = log（x） - log（1-x）

用（ε，1-ε）代替（0,1）得到：

  

I = 2 log（1 /ε）

所以I→∞为ε→0

我们可以在R中看到这个数字：

eps <- c(10^-(5:13))
g    <- function(eps) integrate(function(x) dbeta(x,.5,.5), 
                                lower = 0+eps, upper = 1-eps)$value
g.sq <- function(eps) integrate(function(x) dbeta(x,.5,.5)^2, 
                                lower = 0+eps, upper = 1-eps)$value
(g.lim   <- sapply(eps, g))
(g.sq.lim<- sapply(eps, g.sq))

plot(eps, g.sq.lim, col="red", type="b", ylim=c(0,7),ylab="", log="x")
par(new=T)
plot(eps, g.lim, col="blue", type="b", ylim=c(0,7),ylab="", log="x")