我有一个部分有序的集合，比如说A = [x1, x2, ...]，意味着对于集合中的每个xi和xj，（确切地说）四种可能性中的一种是真的：{{1} }，xi < xj，xi == xj或xi > xj和xi是无法比拟的。
我想找到最大元素（即没有元素xj和xi的元素xj）。什么是有效的算法（最小化比较次数）？我尝试构建DAG并进行拓扑排序，但只是构建图形需要O（n ^ 2）比较，这太多了。
我在Python中这样做，但如果你不知道，我可以阅读其他语言或伪代码。
答案 0 :(得分：6)
无论你做什么，似乎最坏的情况是O（n ^ 2）。例如，如果没有可比较的元素，那么您需要将每个元素与每个其他元素进行比较，以确定它们都是最大的。
如果你允许O（n ^ 2），因为排序是可传递的，你可以只通过集合进行一次传递，保留到目前为止最大的所有元素的列表;每个新元素都会淘汰任何＆lt;它会被添加到最大列表中，如果它不是＆lt;任何最大元素。
答案 1 :(得分：3)
在最坏的情况下，你不能比O（n ^ 2）快。实际上要检查所有元素对于没有元素可比较的poset的最大值，您需要比较每对元素。所以在最坏的情况下它绝对是二次方的。
答案 2 :(得分：2)
假设您已经查看了所有（n选择2）比较，除了一个，在x i 和x j 之间，i！= j。在某些情况下，只有两个最大候选者才是这两个，x i 和x j 。
如果你不比较x i 和x j ，你就无法明确地说出它们是否都是最大的，或者是否只有其中一个是。
因此，您必须检查所有可能的（n选择2）（O（n 2 ））比较。
请注意，这假设您的部分有序集使用黑框进行指定，以进行比较。如果部分有序集合以图表的形式给出，您可以随后在子O（n 2 ）时间内找到最大元素集合。
答案 3 :(得分：1)
正如其他答案所指出的，最坏的情况复杂性是O（n ^ 2）。
然而，有一些启发式方法可以在实践中提供很多帮助。例如，如果集合A是Z ^ 2（整数对）的子集，那么我们可以预先消除很多点：
这是成本O（n）。很容易看出任何最大点都将出现在xy-maximals中。但是，它可以包含非最大点。例如，考虑集合{（1,0），（0,1），（2,2）}。
根据您的情况，这可能是一个足够好的启发式方法。您可以在较小的集合xy-maximals上使用详尽的算法进行跟进。
更一般地说，这个问题被称为'Pareto Frontier'计算问题。以下是很好的参考资料：
http://www.cs.yorku.ca/~jarek/papers/vldbj06/lessII.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_efficiency#Use_in_engineering_and_economics
特别是第一个参考文献中的BEST算法非常有用。