此伪代码的下限运行时

Question

for i = 0 to n do
for j = n to 0 do
for k = 1 to j-i do
print (k)

我想知道上面代码的下限运行时。在我正在阅读的笔记中，它解释了下限运行时

带有解释;

为了找到运行时间的下限，考虑i的值，使得0＆lt; = i＆lt; = n / 4和j的值，使得3n / 4 <= j <= n 。请注意，对于i和j的n ^ 2/16个不同组合中的每一个，最内层循环执行至少n / 2次。

有人可以解释这些数字的来源吗？他们似乎对我来说是武断的。

Answer 1

第一个循环有n个迭代，第二个循环的迭代次数n迭代。总的来说，这是第二个循环的n^2次迭代。

现在，如果您只考虑i的可能值的较低四分之一，那么您将剩下内部循环的n^2/4次迭代。如果您还只考虑j的上四分之一值，那么您将对内循环进行n^2/16次迭代。

对于这些受约束情况的每次迭代，您都有j-i >= 3n/4-n/4 = n/2，因此对于外循环的这些n/2迭代中的每一个，最内部循环至少迭代n^2/16次。因此，最内部循环的完整迭代次数至少为n^2/16*n/2。

因为我们只考虑了特定的迭代，所以迭代的实际数量更高，这个结果是一个下限。因此，算法位于Omega(n^3)。

这些值是任意的，你可以使用许多其他值。但这些是一些简单的，使论证j-i >= 3n/4-n/4 = n/2成为可能。例如，如果您只采用i次迭代的下半部分和j次迭代的上半部分，那么您将获得j-i >= n/2-n/2 = 0，导致Omega(0)，这是没意思。如果你采取了像十分之一和十分之一的东西它仍然可以工作，但数字不会那么好。

Answer 2

我无法从您的书中解释范围，但如果您尝试通过以下方法继续，我希望能够更清楚地找到您正在寻找的内容。

外循环（索引 i ）和内循环（索引 j ）的理想方式如下，因为j - i >= 1应该持续，这样最内层的循环就会执行（在每种情况下都至少执行一次）。

执行分解是因为最内层循环忽略了j from i to 0的范围。

for ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) {
    for ( j = n; j > i ; j -- ) {
        for ( k = 1;  k <= j - i ; k ++ ) {
            printf(k);
        }
    }
}

此算法的增长复杂度T(n)的顺序为：

因此，您的算法的迭代次数超过上述算法（j goes from n to 0）。

使用Sigma Notation，您可以这样做：

其中c表示print(k)的执行成本，c'是不涉及最内层循环的发生迭代的执行成本。