Question

给定一个hypoteneuse（c典型方程a*a + b*b = c*c），计算a和b的所有可能整数值的有效方法是什么，{ {1}}？

注意：我看到a < b大于c，因此1e12大于c*c，我可以告诉long.MaxValue但是，适合c*c。

Answer 1

所有毕达哥拉斯三元组（a，b，c）满足某些整数k，m和n的性质，

a = k（m ^ 2-n ^ 2），b = 2kmn，c = k（m ^ 2 + n ^ 2）

首先考虑因素c。然后，对于c的每个不同因子k（即，对于因子的每个不同子集，乘以一起），找到满足c / k =（m ^ 2 + n ^ 2）的所有m和n。做后者将比其他人建议的蛮力方法花费更少的时间（你只需找到总和为c / k而不是c ^ 2的方格），但会识别所有三元组（a，b，c）。您也不需要使用bignums，因为所有中间结果都适合长。

我还建议你查看“更通用的毕达哥拉斯三重计算器”标题下的网页http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Pythag/pythag.html，其中包含一个用javascript编写的嵌入式计算器，它正是你想要的。

Answer 2

有一种数学解决方案，即使对于较大的c值，也能快速找到a和b。不幸的是，事情并非那么简单。我试图给出一个简短的算法解释。我希望它不会太混乱。

由于给出了c并且你正在寻找a和b，你基本上想要解决丢番图问题形式方程式

n=x^2+y^2,

其中给出了n。 n = c * c是一个正方形并没有多大帮助，因此我正在描述任何n的解。如果n是素数，那么你可以使用 Fermat's theorem，决定你的等式是否可以解决，并使用，正如Moron指出Hermite-Serret算法找到解决方案，如果有的话。

要解决n不是素数的情况，最好使用 Gaussian integers。（高斯整数只是具有积分系数的复数）。特别注意到x + yi的范数是

N(x+yi) = x^2+y^2.

因此必须找到高斯整数x + yi，其范数为n。由于范数是乘法的，因此对于n的因子求解该等式然后乘以单个等式的高斯整数就足够了。让我举个例子。我们要解决

65 = x^2 + y^2.

这相当于找到x，y这样

N(x+yi) = 65

超过高斯整数。我们考虑65 = 5 * 13，然后我们使用费马注意两者图5和13的实施例可以表示为两个正方形的总和。最后，我们通过使用Hermite-Serret算法的强力发现

N(2+i) = N(1+2i) = ... = 5
N(2+3i) = N(3+2i) = ... = 13

注意，我已经用负系数省略了Gaussion整数2-i，-2 + i等。这些当然也是解决方案。

因此，我们现在可以将这些解决方案相乘以获得

65 = 5 * 13 = N（2 + i）* N（2 + 3i）= N（（2 + i）*（2 + 3i））= N（1 + 8i）

和

65 = 5 * 13 = N（2 + i）* N（3 + 2i）= N（（2 + i）*（3 + 2i））= N（4 + 7i）。

因此，人们得到两个解决方案

1*1 + 8*8 = 65
4*4 + 7*7 = 65

其他组合，例如负系数也需要检查。除了排列和改变标志外，他们不提供新的解决方案。

要计算所有解决方案，还可以添加无需计算c * c的内容。找到c的因素是必要的。此外，由于a和b都小于c，因此高斯整数的乘积不能用64位整数系数表示。因此，如果小心，64位整数就足以解决问题。当然，使用像Python这样没有这种溢出问题的语言总是更容易。

Answer 3

不妨去BigNum图书馆。

至于找到a和b的有效方法：

对于b的每个值（从c-1开始并向下直到b * b

Answer 4

a的值为1，b的值为c。

将c*c - b*b与a*a进行比较。如果他们是平等的，你就有了匹配。

根据哪一方面较大而改变a和b，直到它们相同为止。

Answer 5

给出一个c：

因为b> a，如果a是最小值（a = 1），b = sqrt（c * c - 1）。

因此b必须介于该值和c -1之间。

此外，由于b必须是整数，因此需要找到第一个为整数的值。

Now, a property of squares:
The squares are: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...
The differences: -, 3, 5, 07, 09, 11, 13, 15, 17, 019, 021, ...
That means a square can be written as a summation of ODD numbers:
    1 + 3 + 5 + 7 + n+...
where n = number the summation is a square of.

因此，正好有小于c * c的c平方数，您可以使用简单的减法来识别它们。

回到开头，取b = sqrt（c c - 1），向下舍入并取b b，得到方b必须在上面，并且 a = 1 。找到c c - （a a + b b）。这应该为您提供必须添加的数字才能达到c * c。

由于您可以将3 + 5 + 7 + ...添加到a，b+2 + b+4 + b+6 + ...添加到b，您只需根据总和而不是广场本身找到正确的字词：）

知道斜边有效地计算所有毕达哥拉斯三元组

5 个答案: