Question

我在太空中有一个3D点。点的精确方向/位置通过 4x4变换矩阵表示。

我想在这一点上画一个billboard (3D Sprite)。 我知道该点的投射位置（即3D-> 2D）;广告牌面向相机，这也非常有用。 我不知道的是广告牌应该具有的缩放比例！

为了使事情变得更复杂， 4x4矩阵可能会有各种变换：3D旋转，3D缩放，3D换位。假设相机尽可能简单：位于（0,0,0），无旋转。

那么，我可以从这个4x4矩阵“提取”广告牌精灵的缩放吗？

-

WAS：

我有一个3D仿射变换4x4矩阵。我需要将它（项目）转换为2D仿射变换3x3矩阵，如下所示：

enter image description here

3D旋转是无关紧要的，如果存在则可能被丢弃;我只对翻译感兴趣，最重要的是缩放。

任何人都可以为每个六 4 值的方程式提供帮助吗？（假设 t _x，t _y 也是已知的）

其他信息：

Matrix3D是3D点的全局变换，比如说（0,0,0）。其目的是投影在2D平面（计算机屏幕）上。

我知道如何将3D点投影到2D空间，我正在寻找的是保留超出位置的其他转换信息，即缩放：正如您所知，缩放< / strong>在2D平面上投影点时也会改变属性。

我也忘了提及透视投影属性也是已知的，即：

field of view (single value) focal length (single value) projection center (viewpoint position - 2D value)

Answer 1

如果您不使用球面坐标系，则此任务无法解决，因为在投影前丢弃Z坐标将从投影点移除距离，因此您不知道如何应用透视。

你有两个选择（除非我忽视了一些事情）：

应用3D变换矩阵

然后只使用结果的x，y坐标
为旋转/投影创建3x3转换矩阵

并在应用之前或之后添加偏移矢量。请注意，此方法不使用同源坐标!!!

[Edit1]等式

3x3 vs. 4x4 transform matrix

不要忘记3x3矩阵+矢量变换不是累积的！这就是为什么使用4x4转换的原因。现在你可以扔掉矩阵/向量(Xz,Yz,Zz), (z0)的最后一行，然后输出向量只是(x', y')。当然，在此之后你不能使用逆变换，因为你丢失了Z坐标。

通过更改轴方向矢量的大小来完成缩放

顺便说一下。如果你的投影平面也是XY - 平面没有旋转那么：

x' = (x-x0)*d/(z-z0)
y' = (y-y0)*d/(z-z0)

(x,y,z) - 指向项目
(x',y') - 预计点
(x0,y0,z0) - 投射原点
d - 焦距

[Edit2]在问题编辑之后，意思完全不同

我假设您希望精灵始终面向相机。它很丑陋但简化了草，树等......

M - 你的矩阵
P - M内的投影矩阵
如果你的M = (0,0,0)原点没有旋转/缩放/倾斜，那么M=P
pnt - 您的广告牌点（我假设的中心）（w=1）[GCS]
dx,dy - 广告牌的一半大小[LCS]
A,B,C,D - 广告牌的投影边[GCS]
[GCS] - 全球坐标系
[LCS] - 本地坐标系

如果你知道投影矩阵

我认为它是glFrustrum或gluPerspective ......然后：

(x,y,z,w)=(M*(P^-1))*pnt  // transformed center of billboard without projection
A=P*(x-dx,y-dy,z,w)
B=P*(x-dx,y+dy,z,w)
C=P*(x+dx,y+dy,z,w)
D=P*(x+dx,y-dy,z,w)

如果您的M矩阵过于复杂，无法使用＃1

MM=(M*(P^-1))     // transform matrix without projection
XX=MM(Xx,Xy,Xz)   // X - axis vector from MM [GCS](look at the image above on the right for positions inside matrix)
YY=MM(Yx,Yy,Yz)   // Y - axis vector from MM [GCS]
X =(M^-1)*XX*dx   // X - axis vector from MM [LCS] scaled to dx
Y =(M^-1)*YY*dy   // Y - axis vector from MM [LCS] scaled to dy
A = M*(pnt-X-Y)
B = M*(pnt-X+Y)
C = M*(pnt+X+Y)
D = M*(pnt+X-Y)

[Edit3]仅限scalling

MM=(M*(P^-1))      // transform matrix without projection
sx=|MM(Xx,Xy,Xz)|  // size of X - axis vector from MM [GCS] = scale x
sy=|MM(Yx,Yy,Yz)|  // size of Y - axis vector from MM [GCS] = scale y

Answer 2

比例矩阵S如下所示：

翻译矩阵T如下所示：

Z轴旋转矩阵R如下所示：

 cos(a) sin(a)  0  0
-sin(a) cos(a)  0  0
   0      0     1  0
   0      0     0  1

如果您有转换矩阵M，则它是R，T和S矩阵的多次乘法的结果。查看M，这些乘法的顺序和数量是未知的。但是，如果我们假设M=S*R*T我们可以将它分解为单独的矩阵。首先让我们计算S*R*T：

        ( sx*cos(a) sx*sin(a) 0  0)       (m11 m12 m13 m14)
S*R*T = (-sy*sin(a) sy*cos(a) 0  0) = M = (m21 m22 m23 m24)
        (     0         0     sz 0)       (m31 m32 m33 m34)
        (     tx        ty    tz 1)       (m41 m42 m43 m44)

因为我们知道它是2D转换，所以获得翻译很简单：

translation = vector2D(tx, ty) = vector2D(m41, m42)

要计算轮换和比例，我们可以使用sin(a)^2+cos(a)^2=1：

(m11 / sx)^2 + (m12 / sx)^2 = 1
(m21 / sy)^2 + (m22 / sy)^2 = 1

m11^2 + m12^2 = sx^2
m21^2 + m22^2 = sy^2

sx = sqrt(m11^2 + m12^2)
sy = sqrt(m21^2 + m22^2)

scale = vector2D(sx, sy)

rotation_angle = atan2(sx*m22, sy*m12)

Source

希望这能帮到你

3D广告牌精灵背后的数学是什么？（是：3D转换矩阵到2D矩阵）

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