Question

我有一个数据类型和一个归纳谓词（实际上是一些转换系统的小步骤语义）：

datatype dtype = E | A | B dtype

inductive dsem :: "dtype ⇒ dtype ⇒ bool" where  
  "dsem A E"
| "dsem (B E) E"
| "dsem d d' ⟹ dsem (B d) (B d')"

以及通过区分计算的函数：

fun f :: "dtype ⇒ nat" where
  "f E = 0"  
| "f A = 1"
| "f (B _) = 2"

我试图证明关于归纳谓词的一些属性，并且假设还涉及计算不参与归纳的f的值。

lemma
  assumes d: "dsem s s'"
    and h: "h s v"
    and v: "v = f s"
  shows "P v"
using d h
proof (induct rule: dsem.induct)

对于第3个语义规则，Isabelle计算子目标

⋀d d'. dsem d d' ⟹ (h d v ⟹ P v) ⟹ h (B d) v ⟹ P v

s的值丢失，因此无法计算值v。我既不能将v纳入归纳假设，因为Isabelle会生成子目标

⋀d d'. dsem d d' ⟹ (h d v ⟹ v = f d ⟹ P v) ⟹ h (B d) v ⟹ v = f (B d) ⟹ P v

在这种情况下，归纳假设显示v = f d，因为v = f (B d)以来不正确。我也无法将v放入arbitrary: ...，因为v的值必须在整个证明中得到修复。

在生成的子目标中有一个显式绑定s = B d会很好;不幸的是，规则dsem.induct没有提供它。

在这种情况下，是否有人知道计算值v的解决方法？

Answer 1

对我来说，v应该同时修复并从s开始计算，这就是chris在评论中所说的内容，这似乎很奇怪。

如果评论中提供的解决方案Brian符合您的要求，则可能会复制表达式f s，这可能很大（并且多次使用s），也许是重点假设v = f s是为了避免这种情况。

第一个解决方法（可能是Brian隐含提出的）是让Isabelle做unfolding：

lemma
  assumes d: "dsem s s'"
    and h: "h s v"
    and v: "v = big_f s s"
  shows "P v"
using d h
unfolding v -- {* <<<< *}
proof (induct rule: dsem.induct)

第二种解决方法可能是缩写big_f而不是big_f s s：

lemma
  assumes d: "dsem s s'"
    and h: "h s (f s)"
    and v: "f = (λs. big_f s s)" -- {* <<<< *}
  shows "P (f s)"
using d h
proof (induct rule: dsem.induct)

如何在感应证明中显式绑定变量？

1 个答案: