Question

考虑到类似于教科书添加的计算模型，其中每个操作花费1个单位，用于计算到 n 的二进制加法的位模型成本是多少，其中 n 是两个人的力量？

MODEL

计算模型基于写有0和1的玩具积木。最初，零块位于表（免费）上。每个块操作（删除或添加块）的成本为1个单位。

目标是将表格上的（二进制）数字替换为1,2,3，...，n。这是通过模仿 add-with-carry 来完成的。

例如，我们从0开始。要计数到1，我们需要删除0（成本1）并添加1（成本1）。然后，要计数到2，我们需要添加1（成本1）。然后我们删除两个（成本2），替换为0（成本1）并在前面添加1（成本1）以使10（基数2）（成本1）。依此类推，直到 n 。

我认为当最低有效位为0时，成本为2（删除0，加1）。当lsb为1时，成本为5。

增加数字的费用

0000 ->  0           (0 time unit to go to 0 - block already there)
0001 ->  2           (2 operations to go to 2)
0010 ->  1*4 + 1     (1 carry)
0011 ->  2
0100 ->  2*4 + 1     (2 carries)
0101 ->  2
0110 ->  5
0111 ->  2
1000 ->  3*4 + 1     (3 carries)
1001 ->  2
1010 ->  5
1011 ->  2
1100 ->  2*4 + 1
1101 ->  2
1110 ->  5
1111 ->  2
10000 ->  4*4 + 1
10001 ->  2
10010 ->  5
...

我开始看到一种模式，但无法将其形式化。

看起来像T(n) = sum from k = 1 to log n of (4k +1) + 9 * 2^(log n - 2)。

Answer 1

考虑这一点的一种方法是总结列而不是行。假设您计算最多2 ^k。然后：

在所有2个^k操作中，1位将翻转。
在这些操作的2 ^k / 2 = 2 ^k-1中，2位将翻转。
在这些操作的2 ^k / 4 = 2 ^k-2中，4位将翻转。
在这些操作的2 ^k / 8 = 2 ^k-3中，8位将翻转。
...
在2 ^k / 2 ^k = 1次操作中，2 ^k的位将翻转。

（在上面，我正在计算添加一个新的1位作为“翻转”而不是“添加”，因为您可以将其视为从0翻转到1或添加新的1位数到前。）

这意味着必须更改的总位数由

给出

2 ^k + 2 ^k-1 + 2 ^k-2 + ... + 1

= 2 ^{k + 1} - 1

因此总会有2个^{k + 1} - 1位被翻转。我们可以检查一下：从0到1计数，我们得到

0
1

因此我们预测会翻转一位（1 = 2 ¹ - 1）。当从0到2计数时，我们得到

00
01
10

这总共有三位翻转（0 - > 1 - > 0在1的位置，0 - > 1在2的位置），3 = 2 ² - 1 ，正如我们猜测的那样。

希望这有帮助！

计数到N的位模型成本

1 个答案: