Question

我试图围绕研究算法的概念来研究比特成本（而不是单位成本）的时间复杂度，这似乎是不可能的找到关于这个主题的任何内容。

这是我到目前为止所拥有的：

两个数字与n位的乘法和除法的比特成本是，任意算术，O（n ^ 2）。

所以，例如：

int number = 2;
for(int i = 0; i < n; i++ ){
    number = i*i;
}

具有关于O（log（n）^ 2 * n）的比特成本的时间复杂度，因为它进行n次乘法并且i具有log(i)位。

但在常规情况下，我们希望输入的时间复杂度。那么，这种情况如何运作？ i中的位数可以视为常量。这会使时间复杂度与单位成本相同，除非有更大的常数（因此两者都是线性的）。

对于任意精度算术，加法，减法，比较和赋值变量都是O（n），n是位数。

Answer 1

使用有限精度算术（例如，在您的示例中最可能是32位int乘法）乘法的位成本是恒定的。使用朴素乘法算法将int乘以O(32^2)的成本为O(1)（为了更好的algos外观here）。这与i相同，因此人们在分析算法时通常会忽略它。

如果我们使用任意精度算法，那么它就变得很重要了。如果将具有值O(log(i))的任意长数字存储在位中，则它将占用O(log(n)^2 * n)位。因此，您的代码段的费用为i（我使用的事实是n不大于n，因为您的循环上升到O(n)）。

就加法和减法而言，我会说它们都有n的位成本，其中{{1}}是较小操作数的位数。