Question

我目前正在尝试在MATLAB中编写一个程序来检查数字n是否为素数。对于初学者，我正在实施Fermat Primality Test。

费马表示，对于素数p和1 <= b < p：

b^(p-1) = 1  (mod p)

所以在MATLAB中使用p = 17和b = 11

>> mod(b^(p-1),p)

或

>> rem(b^(p-1),p)

我遇到的问题是，对于这个实例，MATLAB返回0。但是，如果p为素数，则应返回1。我看不出我错过了什么，所以非常感谢任何帮助！

Answer 1

@James给出了正确的解释，我只是想扩展一点。

您在double-precision floating-point format中看到，[2^52,2^53]范围内的整数是完全可表示的（因为我们对小数部分有52 + 1位）。在下一个范围[2^53,2^54]中，可表示的整数是偶数（前一个范围乘以2）。等等下一个范围，每当我们走高时，间距就会翻倍。

遗憾的是，数字11^16（等于45949729863572161）在双精度中并不完全可以表示。事实上，围绕那个数字的可表示数字列表是：

45949729863572144
45949729863572152
45949729863572160
45949729863572168
45949729863572176

根据舍入模式，45949729863572161将近似为最接近的可表示数字，在这种情况下为45949729863572160。

要了解会发生什么，让我们尝试存储数字45949729863572100 + [44:76]并显示结果：

% build a cell array of strings containing the numbers, then convert to doubles
% (you could also enter the numbers as literals directly)
str = cellstr(num2str((44:76)', '459497298635721%d'));
num = str2double(str);

% print the original number, its stored value (in decimal and hex notations)
for i=1:numel(num)
    fprintf('%s %17.0f %bX\n', str{i}, num(i), num(i));
end

这是输出（带有一些注释）：

    actual           stored          stored in HEX
----------------------------------------------------
45949729863572144 45949729863572144 436467E125C16356    % exact representation
45949729863572145 45949729863572144 436467E125C16356
45949729863572146 45949729863572144 436467E125C16356
45949729863572147 45949729863572144 436467E125C16356
45949729863572148 45949729863572144 436467E125C16356
45949729863572149 45949729863572152 436467E125C16357
45949729863572150 45949729863572152 436467E125C16357
45949729863572151 45949729863572152 436467E125C16357
45949729863572152 45949729863572152 436467E125C16357    % exact representation
45949729863572153 45949729863572152 436467E125C16357
45949729863572154 45949729863572152 436467E125C16357
45949729863572155 45949729863572152 436467E125C16357
45949729863572156 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572157 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572158 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572159 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572160 45949729863572160 436467E125C16358    % exact representation
45949729863572161 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572162 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572163 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572164 45949729863572160 436467E125C16358
45949729863572165 45949729863572168 436467E125C16359
45949729863572166 45949729863572168 436467E125C16359
45949729863572167 45949729863572168 436467E125C16359
45949729863572168 45949729863572168 436467E125C16359    % exact representation
45949729863572169 45949729863572168 436467E125C16359
45949729863572170 45949729863572168 436467E125C16359
45949729863572171 45949729863572168 436467E125C16359
45949729863572172 45949729863572176 436467E125C1635A
45949729863572173 45949729863572176 436467E125C1635A
45949729863572174 45949729863572176 436467E125C1635A
45949729863572175 45949729863572176 436467E125C1635A
45949729863572176 45949729863572176 436467E125C1635A    % exact representation

正如您所看到的，xxx44和xxx52之间不能有数字（因为他们的HEX表示只在最后一位有所不同）。中间的任何内容都必须近似为最接近的可表示数字。所以范围除以2，一半分配到下限，另一半分配到上限（注意中间有7个数字，所以中间的一个是特殊情况，并被分配到上/下以交替的方式界限。）

因此，在45949729863572156和45949729863572164（包括11^16）之间输入任意数字实际上会存储双值45949729863572160。

现在其他人建议使用bignum库来避免这些数字限制（MathWorks的Symbolic Math Toolbox， John D'Errico的VPI或HPF < / em>，或文件交换中可用的其他解决方案之一...）。例如：

>> b = sym(11); % Symbolic Math Toolbox >> b^16 ans = 45949729863572161 >> mod(b^16,17) ans = 1

但是，在您的情况下，uint64能够准确存储这些数字：

>> b = uint64(11); p = uint64(17); >> b^(p-1) ans = 45949729863572161 >> mod(b^(p-1),p) ans = 1

请记住：

>> intmax('uint64') ans = 18446744073709551615

Answer 2

单个整数只能通过双精度“连续”表示到2^53。 11^16大于此值，因此使用近似值。要执行此计算，您必须使用任意精度整数数据结构。 Here是一个执行此操作的附加组件。

Answer 3

我认为这是由于花车的四舍五入。这是mod上的帮助部分。

EDU>> help mod

MOD    Modulus after division.
MOD(x,y) is x - n.*y where n = floor(x./y) if y ~= 0.  If y is not an
integer and the quotient x./y is within roundoff error of an integer,
then n is that integer.  The inputs x and y must be real arrays of the
same size, or real scalars.

The statement "x and y are congruent mod m" means mod(x,m) == mod(y,m).

By convention:
   MOD(x,0) is x.
   MOD(x,x) is 0.
   MOD(x,y), for x~=y and y~=0, has the same sign as y.

Note: REM(x,y), for x~=y and y~=0, has the same sign as x.
MOD(x,y) and REM(x,y) are equal if x and y have the same sign, but
differ by y if x and y have different signs.

See also rem.

Overloaded methods:
   sym/mod

Reference page in Help browser
   doc mod

在MATLAB中使用floor(x./y)实现mod似乎很奇怪，但我有理由相信这就是原因。

编辑：我相信this可以帮到你。

费马小定理在MATLAB中失败了吗？

3 个答案: