Question

我已经把这个问题写成了作业：

费马在1643年采用了另一种分解方法。它更多   适合寻找比小的因素更大的因素。假设n是奇数   数量和那个n = u×v。由此得出n = x ^ 2 - y ^ 2，其中x =（u   + v）/ 2和y =（v - u）/ 2都是整数（为什么？）。费马的方法包括系统地搜索最小值   x为y，使得x ^ 2-y ^ 2 = n且0≤y<1。 X

练习11. x的最小可能值是什么，即   价值我们应该开始搜索？假设在某个阶段   搜索范围已缩小到x≥p和y≥q。设r = p ^ 2 - q ^ 2 - n。如果   r = 0，然后我们完成了。如果r < 0，我们应该如何改变p或q？和   我们如何改变r来维持r = p ^ 2 - q ^ 2 - n？如果r>，那该怎么办？ 0？   为什么这种方法可以保证终止所有奇数n？设计一个   功能搜索使搜索p q r执行搜索。于是   设计一个函数fermat，用于返回给定奇数的两个因子   号。

这是我到目前为止所做的：

type Factors = (Integer, Integer)
search :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer -> Factors
search n p q r
   | r == 0    = (p-q,p+q)
   | r < 0     = search n a b c
   | otherwise = search n d b e
      where a = p+1 ; b = isqrt (q*q+2*(p-1)+1) ; c = (a*a-b*b-n) ;
             d = p-1 ; e = (d*d-b*b-n)

isqrt :: Integer -> Integer
isqrt = truncate . sqrt . fromInteger

fermat :: Integer -> Factors
fermat n
  | n == 0    = (0,0)
  | otherwise = search n p q r 
    where p = isqrt(n) ; q = 1 ; r = (p*p-q*q-n)

这适用于某些数字，如33（我按预期得到（3,11））但不适用于其他像99（我得到（1,99）而不是（9,11））。我想我需要为q的初始值使用不同的东西。一些提示将不胜感激。

我尝试将q的初始值更改为isqrt( abs(p*p-n))，但这仍然是99（3,33），这是不对的。

Answer 1

正如Daniel Fischer在他的提示中所说，搜索从平方根开始并增加。这是算法，我将留给你翻译成Haskell：

function fermat(n)
    s = floor(sqrt(n))
    u, v, r = 2*s+1, 1, s*s-n
    repeat
        if r > 0 then v, r = v+2, r-v
        else if r < 0 then u, r = u+2, r+u
        else return (u+v-2)/2, (u-v)/2

请注意，此算法返回的两个因子可能是也可能不是素数;如果返回值为 n 且为1，则输入 n 为prime。我在my blog讨论这个算法。请注意，费马的算法是找出数字因子的最差方法之一;甚至试验除法通常也更快，除了 n 是半素数且具有相似幅度的两个因子的情况。

在Haskell中实现Fermat分解

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