Question

Python新手并不确定为什么我的fermat因子分解方法失败了？我认为这可能与大数据的实现方式有关，但我对语言知之甚少，无法确定我哪里出错了。

当n = p * q与p和q非常接近时（如在彼此的约20内），下面的代码有效，但如果它们相距更远则似乎永远运行。例如，使用n=991*997代码可正常工作并在＆lt; 1s中执行，同样适用于n=104729*104659。但是，如果我将其更改为n=103591*104659，它就会永远运行（好吧，我让它去2个小时然后停止它）。

非常感谢正确方向的任何一点！

代码：

import math

def isqrt(n):
  x = n
  y = (x + n // x) // 2
  while y < x:
    x = y
    y = (x + n // x) // 2
  return x

n=103591*104729

a=isqrt(n) + 1
b2=a*a - n
b=isqrt(b2)

while b*b!=b2:
  a=a+1
  b2=b2+2*a+1
  b=isqrt(b2)

p=a+b
q=a-b

print('a=',a,'\n')
print('b=',b,'\n')
print('p=',p,'\n')
print('q=',q,'\n')
print('pq=',p*q,'\n')
print('n=',n,'\n')
print('diff=',n-p*q,'\n')

Answer 1

我在Wikipedia上查找了算法，这对我有用：

#from math import ceil

def isqrt(n):
  x = n
  y = (x + n // x) // 2
  while y < x:
    x = y
    y = (x + n // x) // 2
  return x

def fermat(n, verbose=True):
    a = isqrt(n) # int(ceil(n**0.5))
    b2 = a*a - n
    b = isqrt(n) # int(b2**0.5)
    count = 0
    while b*b != b2:
        if verbose:
            print('Trying: a=%s b2=%s b=%s' % (a, b2, b))
        a = a + 1
        b2 = a*a - n
        b = isqrt(b2) # int(b2**0.5)
        count += 1
    p=a+b
    q=a-b
    assert n == p * q
    print('a=',a)
    print('b=',b)
    print('p=',p)
    print('q=',q)
    print('pq=',p*q)
    return p, q

n=103591*104729
fermat(n)

我尝试了几个测试用例。这个来自维基百科页面：

>>> fermat(5959)
Trying: a=78 b2=125 b=11
Trying: a=79 b2=282 b=16
a= 80
b= 21
p= 101
q= 59
pq= 5959
(101, 59)

这是你的案例：

>>> fermat(103591*104729)
Trying: a=104159 b2=115442 b=339
a= 104160
b= 569
p= 104729
q= 103591
pq= 10848981839
(104729, 103591)

查看标记为“正在尝试”的行显示，在两种情况下，它都会很快收敛。

更新：来自评论因子的非常长的整数如下：

n_long=316033277426326097045474758505704980910037958719395560565571239100878192955228495343184968305477308460190076404967552110644822298179716669689426595435572597197633507818204621591917460417859294285475630901332588545477552125047019022149746524843545923758425353103063134585375275638257720039414711534847429265419

fermat(n_long, verbose=False)
a= 17777324810733646969488445787976391269105128850805128551409042425916175469326288448917184096591563031034494377135896478412527365012246902424894591094668262
b= 157517855001095328119226302991766503492827415095855495279739107269808590287074235
p= 17777324810733646969488445787976391269105128850805128551409042425916175469483806303918279424710789334026260880628723893508382860291986009694703181381742497
q= 17777324810733646969488445787976391269105128850805128551409042425916175469168770593916088768472336728042727873643069063316671869732507795155086000807594027
pq= 316033277426326097045474758505704980910037958719395560565571239100878192955228495343184968305477308460190076404967552110644822298179716669689426595435572597197633507818204621591917460417859294285475630901332588545477552125047019022149746524843545923758425353103063134585375275638257720039414711534847429265419

Answer 2

错误是在增加a之后进行添加，因此新值不是a的平方。这按预期工作：

while b*b!=b2:
  b2+=2*a+1  
  a=a+1  
  b=isqrt(b2)

对于大数字，它应该比计算具有更多位数的正方形更快。

用Python进行费马因子分解

2 个答案: