SICP，费马测试问题

Question

SICP的

Section 1.2.6描述了费马素数测试的算法如下（我自己的话）：

测试n是否为素数：

1. 在a和1 包含之间选择一个随机整数n-1。
2. 如果a^n %n = a，那么n可能是素数。

我坚持的部分是我们允许a = 1这一事实，因为在这种情况下，无论我们选择n（素数与否），测试都会通过。< / p>

Answer 1

你是对的;没有理由选择a = 1.也就是说，[1，n-1]上的均匀分布与[2，n-1]上的均匀分布之间的统计距离是O（1 / n） ），所以当n非常大（足够大以至于你不想进行试验分割）时，实际影响非常小（请记住，这已经是一个概率测试，所以很多其他的选择他们也不会工作。

Answer 2

您链接的文字实际上是（强调我的）：

  

费马的小定理：如果n是素数而a是任何小于n的正整数，那么提升到n次幂与模n一致。

     

（如果它们在除以n时具有相同的余数，则两个数字被认为是全等模式。当除以n时，数字a的余数也被称为模n的余数，或者简称为模数n。）

     

如果n不是素数，那么，通常，大多数数字a＆lt; n不符合上述关系。这导致用于测试素数的以下算法：给定数n，选择随机数a＆lt; n 并计算^ n模n的余数。如果结果不等于a，则n肯定不是素数。如果它是a，那么很有可能n是素数。现在选择另一个随机数a并用相同的方法测试它。如果它也满足等式，那么我们可以更加确信n是素数。 通过尝试越来越多的a值，我们可以增加对结果的信心。此算法称为Fermat测试。

到目前为止，它从未说过实际选择1.但是后来确实如此。我认为这是一个错误，虽然不是一个大问题。即使它对于给定值是正确的，您也应该测试多个值以确定。

pseudocode on Wikipedia使用[2, n - 1]作为范围。您应该在实践中使用此范围（尽管Fermat测试在实践中并未真正使用，因为Miller-Rabin更好）。