Question

我想有效地计算（（X + Y）！/（X！Y！））％P（P如10 ^ 9 + 7）

这个discussion提供了一些关于分配modulo over division的见解。我担心的是，对于一个数字，不一定存在模块化逆。基本上，我正在寻找解决问题的代码实现。

对于乘法，它非常简单：

public static int mod_mul(int Z,int X,int Y,int P)
{
// Z=(X+Y) the factorial we need to calculate, P is the prime
long result = 1;
while(Z>1)
  {
    result = (result*Z)%P
    Z--;
  }
return result;
}

我也意识到许多因素可以在除法中取消（在取模数之前），但如果除数的数量增加，那么我发现很难有效地提出一种算法来划分。（循环列表（因子（X）+因子（Y）...）以查看哪个除以分子的当前乘数因子。）

编辑：我不想使用BigInt解决方案。

是否有任何基于java / python的解决方案或任何标准算法/库用于取消因子（如果反向选项不是完全证明）或接近此类问题。

Answer 1

((X+Y)!/(X!Y!))是拼写二项式系数（(X+Y)-choose-X）的低级方式。虽然你在问题中没有这样说，但代码中的注释意味着P是素数。将这两者放在一起，卢卡斯定理直接适用：http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%27_theorem。

这提供了一个非常简单的算法，该算法基于P和X+Y的基础 - X表示。是否需要BigInts是不可能的，因为你没有对你的论点给出任何界限，除了它们int之外。请注意，如果mod_mul大于最大P的平方根（因为int可能会溢出），那么您的示例result * Z代码可能根本不起作用。

Answer 2

这是二项式系数 - C(x+y,x)。

您可以用不同的方式计算C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

如果时间复杂度为O（x * y），则代码将更加简单。

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Answer 3

您需要的是一种有效的方法： -

C（n，k）= C（n-1，k）+ C（n-1，k-1）



使用动态编程来计算自下而上方法的效率



C（n，k）％P =（（C（n-1，k））％P +（C（n-1，k-1））％P）％P

因此F（n，k）=（F（n-1，k）+ F（n-1，k-1））％P

另一种更快的方法： -

C（n，k）= C（n-1，k-1）* n / k



F（n，k）=（（F（n-1，k-1）* n）％P * inv（k）％P）％P


inv（k）％P表示k的模逆。

注意： - 尝试评估C(n,n-k) if (n-k<k) because nC(n-k) = nCk

模块化算术：除以阶乘数％Prime

3 个答案: